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1、课堂导学三点剖析一,证明与自然数n有关的等式.【例1】 已知an=1+(nN*),是否存在n的整式q(n),使得等式a1+a2+an-1=q(n)(an-1)对于大于1的一切自然数n都成立?证明你的结论.解：假设存在q(n),去探索q(n)等于多少.当n=2时,由a1=q(2)(a2-1),即1=q(2)(1+-1),解得q(2)=2.当n=3时,由a1+a2=q(3)(a3-1),即1+(1+)=q(3)(1+-1),解得q(3)=3.当n=4时,由a1+a2+a3=q(4)(a4-1),即1+(1+)+(1+)=q(4)(1+-1),解得q(4)=4.由此猜想q(n)=n(n2,nN*).
2、下面用数学归纳法证明,当n2,nN*时,等式a1+a2+an-1=n(an-1)成立.当n=2时,由以上验证可知等式成立.假设当n=k(k2,kN*)时等式成立,即a1+a2+ak-1=k(ak-1),则当n=k+1时,a1+a2+ak-1+ak=k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k=(k+1)ak-(k+1)+1=(k+1)(ak+-1)=(k+1)(ak+1-1).当n=k+1时,等式亦成立. 由知,对于大于1的自然数n,存在整式q(n)=n,使得等式a1+a2+an-1=q(n)(an-1)总成立.温馨提示 这是一个探索性问题,整式q(n)需要用不完全归纳法来探求和发现,通过观察,归
3、纳,猜想的思维途径去概括,然后用数学归纳法给出严密的证明.二、证明与数列有关的问题【例2】 已知Sn=1+(n1,nN*),求证：1+(n2，nN*).证明：(1)当n=2时，=1+=1+,即n=2时命题成立.(2)设n=k时命题成立,即=1+1+,当n=k+1时,=1+故当n=k+1时,命题成立.由(1)(2)知,对nN*,n2, 1+不等式都成立.温馨提示 此题容易犯两个错误,一是由n=k到n=k+1项数变化弄错,认为的后一项为,实际上应为；二是+共有多少项,实际上2k+1到2k+1是自然数递增,项数为2k+1-(2k+1)+1=2k.三、综合题型【例3】 某地区原有森林木材存量为a,且每
4、年的增长率为25%,因生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b,设an表示n年后该地区森林木材的存量.(1)求an的表达式;(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材量应不少于a,如果b=a,那么该地区今后会发生水土流失吗?若会,需要经过几年？(取lg2=0.30)思路分析： 本题依题意先计算出第一年、第二年、第三年后的森林木材的存量,归纳猜想第n年后该地区森林木材的存量,并用数学归纳法加以证明，该地区若发生水土流失,则森林木材存量必须小于a,建立起anva的不等式,解之就可求得相应的n值.解:(1)设第一年的森林木材存量为a1,第n年后的森林木材存量为an,a1=a(1+)-
5、b=a-b,a2=a1-b=v(a-b)-b=()2a-(+1)b,a3=a2-b=()3a-()2+1b,由上面的a1,a2,a3推测an=()na-()n-1+()n-2+1b=()na-4()n-1b(nN*).证明:当n=1时,a1=a-b,已证推测成立.假设n=k时,ak=()ka-4()k-1b成立.则当n=k+1时,ak+1=ak-b=()ka-4()k-1b-b=()k+1a-4()k+1-1b.也就是说当n=k+1时,公式也成立.由可知,对nN*公式成立.(2)当b=a时,若该地区今后发生水土流失时,则森林木材存量必须小于a,()na-4()n-1a5.两边取对数得nlglg
6、5,n=7.2经过8年后该地区就开始水土流失.各个击破类题演练 1 用数学归纳法证明:证明:(1)当n=1时,左边=,右边=,等式成立.(2)假设当n=k时,+=成立.当n=k+1时,n=k+1时，等式成立.由(1)(2)可知对一切正整数nN*，等式成立.变式提升 1 证明12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1).证明:(1)n=1时，左边=12-22=-3，右边=-1(21+1)=-3等式成立.n=1时等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，就是12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立.当n=k+1，12-22+32-42+(2k
7、-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-2(k+1)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)2(k+1)+1,所以n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何nN*都成立.类题演练2 已知数列an的通项公式为an=,数列bn的通项满足bn=（1-a1）(1-a2)(1-an),用数学归纳法证明bn=.证明:（1）当n=1时，a1=4,b1=1-a1=1-4=-3,b1=21+11-2=-3成立.（2）假设当n=k时等式成立，即bK=2k+11-2k,那么bK+1=(1-a1)(1-a2)（1-aK）(
8、1-aK+1)=bK(1-aK+1)=2k+11-2k1-4（2k+1）2=2(k+1)+11-2(k+1).这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由（1）（2）可以断定，对任何正整数n，bn=2n+11-2n都成立.变式提升2 函数列fn(x)满足f1(x)=(x0),且fn+1(x)=f1fn(x)，求f2(x)、f3(x).解:f1(x)=f2(x)= f3(x)= .类题演练3 平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于同一点，求证：这n个圆将平面分成n2-n+2个部分.证明：(1)n=1时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立.(2)假设n=k时，k个圆将平面分成k2-k
9、+2个部分.当n=k+1时，第k+1个圆CK+1交前面k个圆于2k个点，这2k个点将圆CK+1分成2k段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k+1个圆将平面分成k2-k+2+2k个部分，即(k+1)2-(k+1)+2个部分.故n=k+1时，命题成立.由(1)(2)可知，对nN*命题成立.变式提升3 证明凸n边形的对角线的条数f(n)=n(n-3)(n4).证明:(1)n=4时，f(4)=4(4-3)=2，四边形有两条对角线，命题成立.(2)假设n=k时命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)=k(k-3)(k4)当n=k+1时，凸k+1边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点AK+1，增加的对角线条数是顶点AK+1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1AK，共增加了对角线条数(k+1-3)+1=k-1.f(k+1)=k(k-3)+k-1=(k2-k-2)=(k+1)(k-2)=(k+1)(k+1)-3,故n=k+1时，命题成立.由(1)(2)可知,对于n4，nN*命题成立.第 页
