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1、2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一填空（4分*8=32分）1. 2. 3. 4.，则 5. 6. 7.点到直线的距离为 8.级数为条件收敛，则常数的取值范围是 二（6分*2=12分）（1）求（2）设在处可导，且求三在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。（4分+6分=10分）（1）函数在上有定义（），当时，严格增加，当时，严格减少，存在，且是的极小值。（2）函数在上一阶可导（），为极值，且为曲线的拐点。四（10分）求一个次数最低的多项式，使得它在时取得极大值13，在时取得极小值14。五（12分）过点作曲线的切线，设是以曲线、切线及轴为
2、边界的无界区域。（1）求切线的方程。（2）求区域的面积。（3）求区域绕轴旋转一周所得的旋转体的体积。六（12分）点在平面的两侧，过点作球面使其在平面上截得的圆最小。（1）求直线与平面的交点的坐标。（2）若点是圆的圆心，求球面的球心坐标与该球面的方程。（3）证明：点确是圆的圆心。七（12分）求级数的和。2010年江苏省高等数学竞赛试题（专科）一 填空题（每题4分，共32分）1. 2.， 3.设由确定，则 4.， 5. 6. 7.圆的面积为 8. 级数的和为 二.（10分）设为正常数，使得对一切正数成立，求常数的最小值三.（10分）设在上连续，且，求证：存在点，使得.四. （12分）求广义积分五（
3、12分）过原点作曲线的切线，求该切线、曲线与轴所围成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积. 六.（12分）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面正方形的中点，（1）试求过点的平面与底面所成二面角的值。（2）试求过点的平面截正方体所得到的截面的面积.七（12分）已知数列单调增加，记，判别级数的敛散性.2008年江苏省高等数学竞赛题（专科）一填空题（每题5分，共40分）1. ， 时，2. 。3.设，则 4. ， 时在时关于的无穷小的阶数最高。5. 6.点关于平面的对称点的坐标为 7.通过点与直线的平面方程为 8.幂级数的和函数为 ，收敛域为 。二（8分）设数列为，证明：数列收敛，并求其极限三（8分
4、）设在上连续，求证存在，使得。四（8分）将面上的曲线绕直线旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积。五（8分）（8分）求六（10分）在平面内作直线，使直线过另一直线与平面设的交点，且与垂直，求直线的参数方程。七（8分）判别级数的敛散性（绝对收敛？条件收敛？发散？）八（10分）求的关于的幂级数展开式，并指出收敛域。2006年江苏省高等数学竞赛试题（专科）一.填空（每题5分，共40分）1. 2. 3. ，则 4. 5. 6. .7.设为空间的4个定点，与的中点分别为，（其中为常数），为空间的任意一点，则的最小值为 .8. 已知点,为坐标原点，则四面体的外接球面方程为 二.（8分）设，试问为
5、何值时，在处一阶导数连续，但二阶导数不存在.三.（9分）过点作曲线的切线，（1）求的方程；（2）求与所围成平面图形的面积；（3）求图形的部分绕轴旋转一周所得立体的体积.四（8分）设在上是导数连续的函数，求证：五（8分）求六（9分）设圆柱面被柱面截下的有限部分为.为计算曲面的面积，用薄铁片制作的模型，为上的三点，将沿线段剪开并展成平面图形，建立平面在极坐标系，使位于轴正上方，点坐标为，写出的边界的方程，并求的面积.七（9分）级数何时绝对收敛?何时条件收敛？何时发散？八（9分）求幂级数的收敛域与和函数2004年江苏省高等数学竞赛试题（专科）一.填空（每题5分，共40分）1. 是周期为的奇函数，且在处有定义，当时，求当时，的表达式.2. 时，与为等价无穷小，则 3. 4. 5. 时 6. 7. 以直线为对称轴，半径的圆柱面方程为 .8. . 二（10分）设在上连续，在内可导，,求证： 内至少存在一点使得三.（10分）设，在的边界上任取点,设到原点距离为，作垂直于，交的边界于1）试将的距离表示为的函数；2）求饶旋转一周的旋转体的体积四（10分）设在上有定义，在处连续，且对一切实数有，求证：在上处处连续。五（10分）上为常数，方程在恰有一个根，求的取值范围。六（10分）已知点,在平面上求一点，使最小七（10分）求幂级数的收敛域。
