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1、第一章第一章1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（Decision Variable）是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。2.（1）设立决策变量；（2）确定极值化的单一线性目标函数；（3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量；（4）非负约束。3.（1）唯一最优解：只有一个
2、最优点（2）多重最优解：无穷多个最优解（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi0 , 决策变量满足非负性。如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。5. 可行解：满足约束条件AX =b,X0的解，称为可行解。基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。最优
3、解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。6. 计算步骤：第一步，确定初始基可行解。第二步，最优性检验与解的判别。第三步，进行基变换。第四步，进行函数迭代。判断方式：唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即j 0 ，但其对应的系数列向量 Pk 中，每一个元素 aik (i=1,2,3,m)均非正数，即有进基变量但找不到离基变量。无可行解：当引入人工变量，最末单纯型发表中的基变量含有非零的人工变量，即人工变量不能全出基，则无可行解。7. 单纯形法需要有一个单位矩阵作为初始基。当约束条件都是“”时，加入松弛变量就形成了初始基，但实际问题中往往出现“”或“”型
4、的约束，这就没有现成的单位矩阵。需要采用人造基的办法，无单位列向量的等式中加入人工变量，从而得到一个初始基。人工变量只有取 0 时，原来的约束条件才是它本来的意义。为保证人工变量取值为 0，令其价值系数为-M（M 为无限大的正数，这是一个惩罚项）。如果人工变量不为零，则目标函数就不能实现最优，因此必须将其逐步从基变量中替换出。对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取 M。8.9. 10.（1）C10，C20，且 d0（2）C1=0，C20 或 C2=0，C10 （3）C1 0，d0，a20，d/43/a2（4）C20，a1 0（5）x1为人工变量，且 C1为包含 M 的大于 0 数，d/43
5、/a2；或者 x2为人工变量，且 C2为包含 M 的大于 0 数，a10，d0。 11. 12. 设 xij为电站向某城市分配的电量，建立模型如下：13. 设 x1为产品A的产量， x2为产品B的产量，x3为副产品C的销售量， x4为副产品C的销毁量，问题模型如下：第二章1.（2）甲生产 20 件，乙生产 60 件，材料和设备 C 充分利用，设备 D 剩余 600 单位（3）甲上升到 13800 需要调整，乙下降 60 不用调整。（4）非紧缺资源设备 D 最多可以减少到 300，而紧缺资源材料最多可以增加到 300，紧缺资源设备 C 最多可以增加到 360。2.设第一次投资项目i为xi，第二次
6、投资项目i设为xi ，第三次投资项目 i设为xi 。3.设每种家具的产量为 4.设每种产品生产xi5（1）设xi为三种产品生产量通过 Lindo 计算得 x1= 33, x2= 67, x3= 0, Z = 733（2）产品丙每件的利润增加到大于6.67时才值得安排生产；如产品丙每件的利润增加到 50/6，通过Lindo计算最优生产计划为：x1=29 ， x2= 46 ， x3= 25 ， Z = 774.9 。（3）产品甲的利润在6,15范围内变化时，原最优计划保持不变。（4）确定保持原最优基不变的q的变化范围为-4,5。（5）通过 Lindo 计算，得到 x1= 32, x2= 58, x
7、3= 10, Z = 707第三章1.原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润，后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同时又是资源消耗带来的。对偶变量的值 yi 表示第i种资源的边际价值，称为影子价值。可以把对偶问题的解Y定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。2.若以产值为目标，则 yi是增加单位资源 i 对产值的贡献，称为资源的影子价格（Shadow Price）。即有“影子价格=资源成本+影子利润”。因为它并不是资源的实际价格，而是企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场
8、来决定，所以叫影子价格。可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时，企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂不购进资源，减少不必要的损失。 3.（1）最优性定理：设，分别为原问题和对偶问题的可行解，且 C = bT，则 ，a分别为各自的最优解。（2）对偶性定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值相等。（3）互补松弛性：原问题和对偶问题的可行解 X*、 Y*为最优解的充分必要条件是,。（4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形法表中，初始基变量的检验数的负值。若 YS对应原问题决策变量 x 的检验数； Y
9、 则对应原问题松弛变量xS 的检验数。 4.表示三种资源的影子利润分别为 0.89、4.89 和 0，应优先增加设备 C 台时以及增加材料可获利更多；14.8912，所以设备 C 可以进行外协加工，200.89210，所以暂不外购材料。5. (1)求出该问题的最优解和最优值；x1= x2= x4= 0, x3= 2, x5= 6, Z = 4(2)该问题的对偶问题的最优解和最优值：y1= 2 ，y2= 0 ， w = 4(3) 分别为 2、0，对产值贡献的大小；第一种资源限量由 2 变为 4，最优解不会改变。(4)代加工产品丁的价格不低于 22+03=4。46. (1)设四种产品产量为xi,i
10、= 1,2,3,4(2) 影子价格分别为 2、1.25、2.5。对比市场价格和影子价格，当市场价低于影子价格时购进。(3)原料丙可利用量在900,1100 范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变）。(4)若产品 B 的价格下降了 0.5 元，生产计划不需要调整。第四章1.纯整数规划、0-1 规划、混合整数规划。2. (1)首先不考虑整数条件，求解整数规划相应的线性规划问题。若相应的线性规划问 题没有可行解，停止计算，这时原整数规划也没有可行解。(2)定界过程。对于极大化的整数规划问题，当前所有未分枝子问题中最大的目标函数 值为整数规划问题上界；在满足整数约束的子问题的解中
11、，最大的目标函数值为整数规划问 题的下界。当上下界相同时，则已得最优解；否则，转入剪枝过程。(3)剪枝过程。在下述情况下剪除这些分枝：若某一子问题相应的线性规划问题无可行解；在分枝过程中，求解某一线性规划所得到的目标函数值 Z 不优于现有下界。(4)分枝过程。当有多个待求分枝时，应先选取目标函数值最优的分枝继续进行分枝。 选取一个不符合整数条件的变量 xi作为分枝变量，若 xi的值是 bi* ，构造两个新的约束条件：xibi* 或 xibi*+1,分别并入相应的数学模型中，构成两个子问题。对任一个子问题， 转步骤(1)。 最整数解为： x1=4, x2=2, z = 3404. 解：设,tij
12、 为个人对于个任务的时间耗费矩阵，则目标函数为：约束条件为：解之得： x12= 1 ， x21= 1 ， x33= 1， x44= 1 ，其余均为0，z=70，即任务A由乙完成，任务B由甲完成，任务C由丙完成，任务D由丁完成。 5. 解：设在第i天应聘的雇员人数为xi。数学模型为：解得：x1=0，x2=4，x3=32， x4=10， x5=34，x6=10，x7=4， Z=94。第五章1. 解：建立目标约束。（1）装配线正常生产设生产A, B,C型号的电脑为x1, x2 , x3（台）， d1 为装配线正常生产时间未利用数， d1+ 为装配线加班时间，希望装配线正常生产，避免开工不足，因此装配
13、线目标约束为（2）销售目标 优先满足老客户的需求，并根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子，A, B,C三种型号的电脑每小时的利润是，因此，老客户的销售目标约束为 再考虑一般销售。类似上面的讨论，得到 （3）加班限制首先是限制装配线加班时间，不允许超过200h，因此得到其次装配线的加班时间尽可能少，即写出目标规划的数学模型经过Lingo计算得到x1 = 100，x2= 55，x3=80。装配线生产时间为1900h，满足装配线加班不超过200h的要求。能够满足老客户的需求，但未能达到销售目标。销售总利润为1001000+551440+802520=380800（元）。2. 解：假设三个工厂对应的生
14、产量分别为300，200，400。（1）求解原运输问题由于总生产量小于总需求量，虚设工厂4，生产量为100个单位，到各个用户间的运费单价为0。用LINGO软件求解，得到总运费是2950元，运输方案如下表所示。（2）下面按照目标的重要性的等级列出目标规划的约束和目标函数。设xij工厂i(i =1,2,3)调配给用户j( j = 1,2,3,4)的运量， cij表示从工厂i 到用户j的单位产品的运输费用，aj( j = 1,2,3,4)表示第j个用户的需求量，bi(i =1,2,3)表示第i个工厂的生产量。i）供应约束应严格满足，即ii）供应用户1的产品中，工厂3的产品不少于100个单位，即;iii）需求约束。各用户的满足率不低于80，即应尽量满足各用户的需求，即iv）新方案的总运费不超过原方案的10（原运输方案的运费为2950元），即v）工厂2到用户4的路线应尽量避免运输任务，即vi）用户1和用户3的满足率应尽量保持平衡，即vii）力求总运费最少，即目标函数为经8次运算，得到最终的计算结果，见下表。总运费
