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1、 练习一 行列式的概念、基本性质及计算一 、选择题1、设是三阶行列式中元素的代数余子式，则（ ）时，必有（ ） （A）j=1 (B) j=2 (C) j=3 (D) j=1 或 j=22、,那么（ ）（A） 8 (B) -12 (C) -4 (D) 243、 的充要条件是（ ） 4、 （）A、24 B、-24 C、42 D、0二. 计算下列三阶行列式:1) ; 2) ; 三. 计算下列行列式:1) ;2) ;四. 利用行列式的性质计算下列行列式1) ; 2) ;3) 五. 把下列行列式化为上三角形行列式, 并计算其值1) ; 2) 六. 计算下列n阶行列式1) 2) 3)七. 证明：练习二 克
2、莱姆法则一 选择题 1 如果 有非零解，则（ ）（A） k=0 (B) k=1 (C) k=4 (D) k=-3或k=-12 当（ ）时 仅有零解二 计算题1 用克莱姆法则解下列方程组.(1) (2) 2. 如果齐次线性方程组有非零解, k应取什么值?3. 问, 取何值时, 齐次线性方程组有非零解? 练习三 矩阵的概念及运算 一 多项选择题1、有矩阵下列（ ）运算可行（A） （B） （C） （D）2、均为阶矩阵，当（ ）时（A） （B） （C） （D） 3、为四阶矩阵，E为单位矩阵，若，则下列各式中总是成立的有（ ）（A） （B） （C） （D） 二 计算题1 已知和，求满足方程中的X2 求A
3、=3. 设,求: 1) 3A-2B; 2) 若X满足AT+XT=BT, 求X.4. 计算下列矩阵的乘积:1) ;2) ;3) ;4) 5. 设求: 1) (A+B)(A-B); 2) A2-B2.比较1)和2)的结果, 可得出什么结论?三 证明题1. 如矩阵AB=BA, 则称A与B可交换, 试证:1) 如果B1, B2都与A可交换, 那么B1+B2, B1B2, 也与A可交换;2) 如果B与A可交换, 那么B的k(k0)次幂Bk也与A可交换.2. 如矩阵A=AT, 则称A为对称矩阵.设A,B都是n阶对称矩阵, 证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 练习四 逆矩阵，矩阵的秩 一 选择题
4、1 若是同阶矩阵，且可逆，下式（ ）必成立（A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则2 设为非奇异对称矩阵，则（ ）仍为对称矩阵（A） （B） （C） （D）3 当时，（ ）（A） （B） （C） （D）4 已知，则（ ）（A）为可逆矩阵 （B） （C）为对称矩阵 （D）5 设为矩阵，且，则（ ）（A）中阶子式不全为零 （B）中每一个阶数大于的子式皆为零 （C）经初等变换可化为，为单位矩阵 （D）不可能是对称矩阵二 计算题1. 求矩阵A的伴随矩阵A*, 并求A-1. 2. 设A为三阶方阵, A*是A的伴随矩阵, 且|A|=1/2, 求行列式|(3A)-1-2A*|的值.3. 若n阶
5、矩阵A满足A2-2A-4I=0, 试证A+I可逆, 并求(A+I)-1.4. 判别下列矩阵是否初等矩阵?1) , 2) , 3) , 4) 5. 求下列矩阵的逆矩阵:1) ; 2) 3) 6. 解下列矩阵方程, 求出未知矩阵X.1) 2) 7. 求矩阵X满足AX=A+2X, 其中8*. 利用分块的方法, 求下列矩阵的乘积:1) ;2) 三 证明题1. 设A为n阶可逆阵, A2=|A|I, 证明: A的伴随矩阵A*=A.2设均是矩阵，且，试证：3. 设A,B均为n阶方阵, 且, 证明: A2=A的充分必要条件是B2=I.练习五 n维向量及线性相关性 一 选择题 1 有向量组，以下是它的线性组合的
6、是（ ）（A）（2，0，0） (B) （3，0，4） (C) （1，1，0） (D) （0，1，0）2 向量组线性相关，则（） （A） 中必有零向量 (B)必线性无关 (C) 必线性相关(D) 必线性相关3 向量组的秩不为零的充分必要条件是（ ）（A）中至少有一个非零向量 （B）全是非零向量（C）线性无关 （D）中有一个线性无关的部分组二 计算题1. 设1=(1,1,1), 2=(-1,2,1), 3=(2,3,4), 求=31+22-32. 设3(1-)+2(2+)=5(3+), 求, 其中a1=(2,5,1,3) a2=(10,1,5,10) a3=(4,1,-1,1)3. 判数下列向量是
7、线性相关还是线性无关.1) 1=(1,1), 2=(2,2);2) 1=(2,3), 2=(1,4), 3=(5,6);3) 1=(1,1,1), 2=(2,1,3), 3=(0,1,2);4) 1=(a11,0,0,0), 2=(0,a22,0,0),n=(0,0,ann);4. 设1=1+2, 2=2+3, 3=3+4, 4=4+1,且 向量组1 2 34线性无关证明：向量组1,2,3,4线性相关.5. 设向量组1,2,s 线性无关, 证明向量组1,1+2,1+2+s也线性无关.6. 设1,2,3是一组3维向量, 已知3维单位坐标向量e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,
8、0,1)能由1,2,3线性表出, 证明1,2,3线性无关.练习六 向量组的秩1. 求下列向量组的秩, 并求出它的一个极大无关组:1) 1=(2,0,1,1), 2=(-1,-1,0,1), 3=(1,-1,0,0),4=(0,-2,-1,-1)2) 1=(1,2,1,3), 2=(4,-1,-5,-6), 3=(1,-3,-4,-7)2. 求下列矩阵的秩1) ; 2) 3. 证明: 等价的向量组有相同的秩.4. 设向量可以由向量组1,2,r-1,r线性表出, 但向量不能由向量组1,2,r-1线性表出, 试证: 向量组1,2,r-1,r与1,2,r-1,有相同的秩.5*设R为全体实数的集合, 并
9、且设,.问V1,V2是否向量空间? 为什么?6*. 在R3中, 设S1是由1=(1,1,1),2=(2,3,4)生成的子空间, S2是由1=(3,4,5),2=(0,1,2)生成的子空间, 证明S1=S2, 并说出该子空间的维数.练习七 线 性 方 程 组1. 用Gauss消元法解下列线性方程组.1) 2)3) 4)2. 确定下列线性方程组中k的值满足所要求的解的个数.1) 无解: 2) 有唯一解: 3) 有无穷多解:4. 讨论以下述阶梯矩阵为增广矩阵的线性方程组是否有解; 如有解，区分是唯一解还是无穷多解.1)2)3)4)5. 对给定方程组的增广矩阵施行行初等变换求解线性方程组.1) 2)3)6. 对给定齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换求解下列方程组.1) 2)7设一线性方程组的增广矩阵为求的值使得此方程组有唯一解.8. 设一线性方程组的增广矩阵为1) 此方程有可能无解吗? 说明你的理由.2) 取何值时方程组有无穷多解?9. 一城市局部交通流如图所示.(单位: 辆/小时)1) 建立数学模型2) 要控制x2至多200辆/小时, 并且x3至多50辆/小时是可行的吗?
