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1、习题集-02 数字信号处理习题答案 - 第一章 离散时间信号系统与Z变换 Z变换 ? Z变换的定义及收敛域 【习题】 1. 假设x(n)的z变换代数表示式是下式，问X(z)可能有多少不同的收敛域。 1?1?2 X(z)?4z (1?1254z?)(1?4z?1?38z?2)【分析p 】 有限长序列的收敛域为 ： 0?z- , n1?n?n2 特殊情况有 ： 0?z- , n1?0 0?z- , n2?0 右边序列的收敛域为 ： Rx-z- , n?n1 因果序列的收敛域为 ： Rx-z- , n?n1?0 左边序列的收敛域为 ： 0?z?Rx? , n?n2 特殊情况有 ： z?Rx? , n
2、?n2?0 双边序列的收敛域为 ： Rx-z?Rx?有三种收敛域 ： 圆内 、 圆外 、 环状 z?0 ， z- 要单独讨论 1 第一章 离散时间信号系统与Z变换 解：对X(Z)的分子和分母进展因式分解得 (1?X(Z)?(1?14Z?212Z?1)(1?12Z1212?112Z?1)34Z?1)(1?)(1-1)1-(1?12jZ?1Z ?1)(1?jZ)(1?34Z?1)X(Z)的零点为：1/2，极点为：j/2，-j/2，-3/4 X(Z)的收敛域为： (1) 1/2 3/4，为右边序列，见图三 图一 图二 图三 2 第一章 离散时间信号系统与Z变换 ? Z反变换 【习题】 2. 有一右边
3、序列 x(n)，其 z 变换为X(z)?(1?112z?1 ?1)(1?z)(a) 将上式作局部分式展开(用 z?1表示)，由展开式求 x(n) 。 (b) 将上式表示成 z 的多项式之比，再作局部分式展开，由展开式求 x(n) ,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。 【注意】不管哪种表示法最后求出 x(n) 应该是一样的。 解：(a) 因为X(z)?1-112z?1?21?z?1 且x(n)是右边序列 ?1?所以 x(n)?(2-?)u(n) ?2?n(b) X(z)?(z?z122)(z?1)3z?1212 ?1?2(z-1 )(z?1) ?1?z?2?21z?12n?1?那么 x(
4、n)-(n)-?u(n?1)?2u(n?1)?2-1? ?(2-?)u(n)?2?n 3 第一章 离散时间信号系统与Z变换 ? Z变换的根本性质和定理 【习题】 3. 对因果序列，初值定理是x(0)?limX(z)，假如序列为 n?0时x(n)?0，问相应的定理是什么？z-讨论一个序列 x(n)，其z变换为： X(z)?7121-52z1924?1z?1?z?2X(z) 的收敛域包括单位圆，试求其 x(0) 值。 【分析p 】 这道题讨论如何由双边序列Z变换X(z)来求序列初值x(0)，把序列分成因果序列和反因果序列两局部，它们各自由X(z)求x(0)表达式是不同的，将它们各自的x(0)相加即
5、得所求。 解：当序列满足0n?0,x(n)?0时,有:X(z)-n-?x(n)z?n ?2 ?x(0)?x(?1)z?x(?2)z所以此时有：limX(z)?x(0)z?0-假设序列x(n)的Z变换为： 7X(z)?121? ?52z?z1924?1z?17?12z2?1924z12)(z)?z?2(z?2)(z?z?4 z?23 z?12?X1(z)?X122 ?X(z) 的极点为 z1?2,z2?由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆 那么其收敛域应该为：12?z?2 那么 x1(n) 为 n?0 时为有值左边序列，x2(n) 为因果序列：x1(0)?limX1(z)?limz?0z?0?
6、04z?2z3z?1312?13z x2(0)?limX2(z)?limz-z-?x(0)?x1(0)?x2(0)? 4 第一章 离散时间信号系统与Z变换 4. 有一信号y(n)，它与另两个信号x1(n)和x2(n)的关系是： y(n)?x1(n?3)?x2(?n?1) ?1-1?其中 x1(n)-?u(n) ，x2(n)-?u(n) ?3-2?nn Zau(n)?n11?az?1 ，z?a，利用 z 变换性质求 y(n) 的 z 变换 Y(z) 。 【分析p 】 (1) 注意移位定理 ：?1 x(n)?X(z) x(?n)?X(z x(n?m)?zm)-mX(z) x(?n?m)?zX(z?1) 2 y(n)?x1(n)*x2(n) 那么 Y(z)?X1(z)X2(z) 。解：根据题目所给条件可得： ? x1(n)-?11?12z?1Z x2(n)-?11?13z?1 - ?x1(n?3)?1?Zz312 z?z?112 ?1 x2(?n)-?X2(z)?Z11?13z z?1?13 - x2(?n?1)?Zz1-113 z?3 z而 y(n)?x1(n?3) ? x2(?n?1) 所以 Y(z)?Z?x1(n?3)-Z?x2(?n?1)? z1?3?12?z?1z1-113 z-3z3(z?3)(z?12 ) 5 第 页 共 页
