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1、基本不等式全题型题型1基本不等式正用ab2例1：(1)函数f（x)x（x0）值域为_；函数f(x）x（xR)值域为_;(2) 函数f(x)x2的值域为_ 解析：（1)x 0，x22，f（x)(x 0)值域为2,）;当xR时，f（x)值域为（,22，);(2）x2(x21)1211，当且仅当 x0 时等号成立答案：（1）2，） （,22,） (2)1，)4（2013镇江期中)若x1，则x的最小值为_解析：xx11415。当且仅当x1，即x3时等号成立答案：5例1（1）已知x0，则f（x)2x的最大值为_（1)x0，x0，f（x)2x2。(x）24，当且仅当x,即x2时等号成立f(x)2242，f
2、（x）的最大值为2.例:当x0时，则f（x）的最大值为_解析：(1)x0，f(x)1,当且仅当x，即x1时取等号3函数y(x1）的最小值是_解析：x1，x10.yx122 222.当且仅当x1，即x1时,取等号答案：2210已知x0,a为大于2x的常数,求yx的最小值解:y2 .当且仅当x时取等号故yx的最小值为。题型2基本不等式反用例：（1）函数f（x）x（1x）(0x1)的值域为_；（2)函数f（x）x（12x)的值域为_解析:（1）00， x(1x)2，f（x） 值域为。（2)0x,12x0. x(12x)2x（12x)2,f（x） 值域为。答案：(1）（2)3（教材习题改编)已知0x1
3、，则x(33x）取得最大值时x的值为_解析：由x(33x）3x（33x）,当且仅当3x33x，即x时等号成立答案：3函数yx的最大值为_解析：x。4已知0x1，则x（33x)取得最大值时x的值为()A. B. C. D.解析00.x(33x）3x(1x)32。当x1x，即x时取等号答案B10已知x0，a为大于2x的常数，求函数yx(a2x)的最大值;解：x0,a2x，yx(a2x)2x（a2x）2，当且仅当x时取等号,故函数的最大值为。题型三:利用基本不等式求最值2已知t0,则函数y的最小值为_解析t0，yt4242,且在t1时取等号答案2例：当x0时，则f(x)的最大值为_解析:x0，f（x
4、）1，当且仅当x，即x1时取等号例1：（1）求函数f(x）x(x3）的最小值；（2）求函数f（x）（x3)的最小值；思维突破:(1)“添项”，可通过减3再加3,利用基本不等式后可出现定值(2)“拆项”,把函数式变为yM的形式(1)x3，x30。f（x）(x3)3235.当且仅当x3，即x4时取等号，f（x)的最小值是5.(2）令x3t，则xt3，且t0。f(x)t3235。当且仅当t,即t1时取等号,此时x4，当x4时，f（x)有最小值为5.技巧总结：当式子不具备“定值”条件时，常通过“添项”达到目的；形如y（a0，c0）的函数，一般可通过配凑或变量替换等价变形化为yt(p为常数）型函数，要注
5、意t的取值范围；例：设x1，求函数yx6的最小值；解:x1,x10。yx6x15259，当且仅当x1，即x1时，取等号当x1时,函数y的最小值是9。1若x0，y0，且xy18，则xy的最大值是_解析由于x0，y0，则xy2,所以xy281，当且仅当xy9时，xy取到最大值81. 答案815已知x,yR，且满足1，则xy的最大值为_解析x0，y0且12，xy3。当且仅当时取等号答案36(2013大连期中）已知x,y为正实数，且满足4x3y12，则xy的最大值为_解析：124x3y2,xy3。当且仅当即时xy取得最大值3.答案：32已知m0，n0,且mn81，则mn的最小值为_解析：m0，n0，m
6、n218。当且仅当mn9时，等号成立答案：185已知x0，y0，lg xlg y1，则z的最小值为_解析：由已知条件lg xlg y1，可得xy10。则2 2，故min2,当且仅当2y5x时取等号又xy10，即x2，y5时等号成立答案：2(2012天津高考)已知log2alog2b1，则3a9b的最小值为_解析：由log2alog2b1得log2(ab）1，即ab2,3a9b3a32b23(当且仅当3a32b，即a2b时取等号)a2b24（当且仅当a2b时取等号）,3a9b23218。即当a2b时，3a9b有最小值18。3设x,yR，a1,b1，若axby3,ab2,则的最大值为（)A2 B.
7、 C1 D.解析由axby3，得：xloga3,ylogb3,由a1,b1知x0，y0，log3alog3blog3ablog321,当且仅当ab时“成立，则的最大值 为1。 答案C6（2011湖南)设x，yR，且xy0，则的最小值为_解析54x2y2529,当且仅当x2y2时“”成立答案9例：若正数x，y满足x3y5xy，求xy的最小值解:x0，y0，则5xyx3y2，xy，当且仅当x3y时取等号xy的最小值为。 4若正实数x,y满足2xy6xy，则xy的最小值是_答案18解析由x0，y0,2xy6xy,得xy26（当且仅当2xy时，取“”),即()2260，（3）（)0.又0,3，即xy1
8、8.xy的最小值为18。例：已知x0,y0,x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4 C. D.解析依题意,得（x1）（2y1）9，(x1)(2y1)26，即x2y4。当且仅当即时等号成立x2y的最小值是4。3若x，y(0，），x2yxy30.(1)求xy的取值范围；（2)求xy的取值范围解:由x2yxy30,(2x)y30x，则2x0,y0,0x30。（1)xyx323418,当且仅当x6时取等号，因此xy的取值范围是(0，18（2）xyxx1x2383，当且仅当时，等号成立，又xyx2330,因此xy的取值范围是83,30）例：已知ab0，则a2的最小值是_解析：ab0，b（ab）
9、2,当且仅当a2b时等号成立a2a2a2216，当且仅当a2时等号成立当a2，b时，a2取得最小值16。8设x，y，z为正实数,满足x2y3z0，则的最小值是_解析:由已知条件可得y，所以3，当且仅当xy3z时，取得最小值3。答案：3例：已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，则实数m的最大值是_解析：由x0，y0,xyx2y2，得xy8，于是由m2xy恒成立，得m28,即m10.故m的最大值为10.1已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_解析：依题意得x2x（x2y）2（xy），即2（当且仅当x2y时取等号)，即的最大值是2;又，因此有2，即的最小值是2.答案：21已
10、知关于x的不等式2x7在x（a，）上恒成立，则实数a的最小值为_解析：因为xa，所以2x2（xa)2a22a2a4，即2a47，所以a，即a的最小值为。答案：5圆x2y22x4y10关于直线2axby20 （a，bR)对称，则ab的取值范围是（)A. B。C. D。答案A解析由题可知直线2axby20过圆心(1，2)，故可得ab1,又因ab2 （ab时取等号）故ab的取值范围是.典例：（12分）已知a、b均为正实数，且ab1，求y的最小值易错分析在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到审题视角(1）求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须
11、保证“正、定、等”,而且还要符合已知条件(2）可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围规范解答解方法一y22222.10分当且仅当ab时，y取最小值，最小值为.12分方法二yabababab2。8分令tab2,即t。又f(t）t在上是单调递减的，10分当t时，f（t）min，此时，ab.当ab时,y有最小值.12分温馨提醒(1)这类题目考生总感到比较容易下手但是解这类题目却又常常出错(2）利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错（3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件。方法与技巧1基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点2恒等变形：为了利用基本不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形比如：（1)当x2时，x(x2）2224。(2）0x，x（83x）（3x)（83x）2.失误与防范1使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可2在运用重要不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足重要不等式中“正”“定“等的条件3连续
