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1、第七章非线性这一章讨论 ABAQUS 中的非线性结构分析。线性分析与非线性分析的区别概述如下：线性分析到目前为止所讨论的分析实例均为线性情形，也就是施加的载荷和系统响应间存在线性关系。例如：如果一线性弹簧在 10N 的载荷下伸长 1，那么施加 20N 的载荷就会伸长。这意味着在线性分析中，结构的柔度阵只需计算一次（将刚度阵集成并求逆即可得到）。其它载荷情形下，结构的线性响应可通过将新的载荷向量与刚度阵的逆相乘得到。此外，结构对不同载荷情形的响应，可以用常数来进行比例变换或相互叠加的方式，来得到结构对一种完全新的载荷的响应，这要求那种新载荷是先前各载荷的线性组合。载荷的叠加原则假定所有的载荷的边
2、界条件相同。ABAQUS 在线性动力学模拟中使用了载荷的叠加原理，这将在第九章进行讨论。非线性分析结构的非线性问题指结构的刚度随其变形而改变的分析问题。实际上所有的物理结构均为非线性的，而线性分析只是一种方便的近似，这对设计来说通常是足够精确的。显然，线性分析对包括加工过程的许多结构模拟来说是不够的，象锻造或冲压、压溃分析、及橡胶部件、轮胎和发动机垫圈分析等问题。一个简单的例子就是具有非线性刚度响应的弹簧（见图 7-1）。图 7-1线性和非线性弹簧特性由于刚度依赖于位移，所以不能再用初始柔度乘以所施加的载荷的方法来计算任意载荷时弹簧的位移了。在非线性分析中结构的刚度阵在分析过程中必须进行许多次
3、的生成、求逆，这使得非线性分析求解比线性分析昂贵得多。由于非线性系统的响应不是所施加载荷的线性函数，因此不可能通过叠加来获得不同载荷的解。每种载荷都必须作为独立的分析进行定义及求解。717.1非线性的来源在结构力学模拟中有三种非线性的来源：材料非线性边界非线性几何非线性7.1.1材料非线性这种非线性也许是人们最熟悉的，并将在第八章中进行更深入的讨论。大多数金属在小应变时都具有良好的线性应力/应变关系，但在应变较大时材料会发生屈服，此时材料的响应变成了非线性和不可逆的（见图 7-2）。图 7-2弹塑性材料轴向拉伸应力应变曲线橡胶可以近似认为具有非线性的、可逆的（弹性）响应的材料（见图 7-3）。
4、材料的非线性也可能与应变以外的其它因素有关。应变率相关材料的材料参数和材料失效都是材料非线性的表现形式。材料性质也可以是温度和其它预先设定的场变量的函数。图 7-3橡胶类材料应力应变曲线7.1.2边界非线性若边界条件随分析过程发生变化，就会产生边界非线性问题。考虑图 7-4 所示7 2的悬臂梁，它随施加的载荷发生挠曲，直至碰到障碍。图 7-4将碰到障碍物的悬臂梁梁端部的竖向挠度与载荷在它接触到障碍以前是线性关系。在端部碰到障碍时梁端部的边界条件发生突然的变化，阻止竖向挠度继续增大，因此梁的响应将不再是线性的。边界非线性是极度不连续的，在模拟分析中发生接触时，结构的响应特性会在瞬时发生很大的变化
5、。另一个边界非线性的例子是将板材材料冲压入模具的过程。在与模具接触前，板材在压力下的伸展变形是相对容易产生的，在与模具接触后，由于边界条件的改变，必须增加压才能使板材继续成型。边界条件非线性将在第十一章进行讨论。7.1.3几何非线性第三种非线性的来源是与分析过程中模型的几何改变相联系的。几何非线性发生在位移的大小影响到结构响应的情形。这可能由于：大挠度或转动。“突然翻转”。初应力或载荷硬化。例如，考虑端部受竖向载荷的悬臂梁（见图 7-5）。若端部挠度较小，分析时可以认为是近似线性的。然而若端部的挠度较大，结构的形状乃至于其刚度都会发生改变。另外，若载荷不能保持与梁垂直，载荷对结构的作用将发生明
6、显的改变。当悬臂梁自由端部挠曲时，载荷可以分解为一个垂直于梁的分量和另一个沿梁的长度方向作用的分量。所有这些效应都会对悬臂梁的非线性响应作出贡献（也就是梁的刚度随它所承受载荷的增加而不断变化）。图 7-5悬臂梁的大挠度可以预料大挠度和转动对结构承载方式有重要影响。然而，并非位移相对于结构尺寸很大时，几何非线性才显得重要。考虑一块很大的弯板在所受压力下的“突然翻转”现象，如图 7-6 所示。在此例子中板的刚度在变形时会产生戏剧性的变化。当平板突然翻转时，刚7 3度就变成了负的。这样，尽管位移的量值相对于板的尺寸来说很小，在模拟分析中仍有严重的几何非线性效应，这是必须加以考虑的。图 7-6大平板的
7、突然翻转7.2非线性问题的求解结构的非线性载荷位移曲线见图 7-7。分析的目标是确定其响应。ABAQUS使用 Newton-Raphson 法来求解非线性问题。在非线性分析中的求解不能象线性问题中那样，只求解一组方程即可，而是逐步施加给定的载荷，以增量形式趋于最终解。因此 ABAQUS 将计算过程分为许多载荷增量步，并在每个载荷增量步结束时寻求近似的平衡构形。ABAQUS 通常要经过若干次迭代才能找到某一载荷增量步的可接受的解。所有增量响应的和就是非线性分析的近似解。图 7-7非线性载荷位移曲线考虑作用在物体上的外部作用力 P 和内部（节点）作用力 I,（分别见图 7-8(a)与图 7-8(b
8、)）。作用于一节点上的内部作用力是由包含此节点的各单元中的应力引起的。7 4(a)模拟计算中的外部载荷(b)作用于节点上的内部作用力图 78物体上的外部载荷和内部作用力为了使物体处于平衡状态，每个节点上施加的净作用力必须为零。因此平衡的基本判据为内部作用力 I 和外部作用力 P 必须互相平衡：P I 07.2.1分析步，增量步和迭代步这一节将引入一些新词汇来描述分析中的不同组成部分。清楚地理解分析步，载荷增量步和迭代步的区别是很重要的。模拟计算的加载过程包含单个或多个步骤，所以要定义分析步。它一般包含分析过程选择，载荷选择，和输出要求选择。而且每个分析步都可以采用不同的载荷、边界条件、分析过程
9、和输出要求。例如：步骤一：将板材夹于刚性夹具上。步骤二：加载使板材变形。步骤三：确定变形板材的自然频率。增量步是分析步的一部分。在非线性分析中，一个分析步中施加的总载荷被分解为许多小的增量，这样就可以按照非线性求解步骤来进行计算。当提出初始增量的大小后，ABAQUS 会自动选择后继的增量大小。每个增量步结束时，结构处于（近似）平衡状态，结果可以写入输出数据库文件、重启动文件、数据文件或结果文件中。选择某一增量步的计算结果写入输出数据库文件的数据称为帧（frames）。迭代步是在一增量步中找到平衡解的一种尝试。如果模型在迭代结束时不是处于平衡状态，ABAQUS 将进行另一轮迭代。随着每一次迭代，
10、ABAQUS 得到的解将更接近平衡状态；有时 ABAQUS 需要进行许多次迭代才能得到一平衡解。当平衡解得到以后一个增量步才完成，即结果只能在一个增量步的末尾才能获得。7.2.2平衡迭代和收敛性结构对于一个小的载荷增量 P 的非线性响应示于图 7-9 中。ABAQUS 利用基于 U0 时构形的结构初始刚度 K0，和增量 P 来计算结构的位移修正值 ca。利用 ca 将结构的构形更新为 Ua。7 5图 7-9一增量步中的首次迭代收敛性基于结构新的构形 Ua，ABAQUS 形成新的刚度 Ka。利用 Ka 来计算更新后的构形中结构的内部作用力 Ia。所施加的总载荷 P 和 Ia 的差值可如下计算：R
11、a P -Ia其中 Ra 是迭代的作用力残差值。如果 Ra 在模型的每一自由度上均为零，图 7-9 中的 a 点将位于载荷挠度曲线上，结构将处于平衡状态。在非线性问题中，几乎不可能使 Ra 等于零，因此 ABAQUS 将 Ra 与容许残差进行比较。如果 Ra 比作用力容许残差小，ABAQUS 就接受结构的更新构形作为平衡结果。默认的容许残差设置为结构中对时间进行平均的作用力的0.5%。ABAQUS 在整个模拟过程中自动从空间分布和对时间平均的角度计算这个值。若 Ra 比目前的容许残差小，就认为 P 和 Ia 处于平衡状态，Ua 就是结构在当前载荷下合理的平衡构形。而 ABAQUS 在接受此解前
12、，还要检查位移修正值 ca 与总的增量位移 UaUaU0 相比是否是一小量。若 ca 大于增量位移的 1%，ABAQUS 将重新进行迭代。只有这两个收敛性检查都得到满足，才认为此载荷增量下的解是收敛的。上述收敛判断规则有一个例外，即所谓线性增量情况。线性增量的定义是指增量步内最大的力残差小于时间平均力乘以 10-8 的增量步，凡严格满足这个定义的增量步无需再进行迭代，无需进行任何检查即可认为其解是可接受的。若迭代结果不收敛，ABAQUS 将进行另一种迭代以使内部和外部作用力达到平衡。第二种迭代采用前面迭代结束时计算得到的刚度 Ka 和 Ra 一起来确定另一位移修正值 cb，这使得系统更加接近平
13、衡状态（见图 7-10 中的点 b）。ABAQUS 利用结构新构形 Ub 中的内部作用力计算新的作用力残值 Rb，再次将任意自由度上的最大作用力残值与作用力残值容许值进行比较，将第二种迭代的位7 6移修正值 cb 与增量位移 UbUb-U0 进行比较。如果需要的话 ABAQUS 将进行进一步的迭代。图 7-10 第二种迭代对于非线性分析中的每次迭代，ABAQUS 要重新形成模型的刚度矩阵并求解方程组。从计算费用的角度来说，这意味着每次迭代等价于进行一次完整的线性分析。现在可以清楚地看到非线性分析的计算费用可能要比线性问题大许多倍。可以在每一收敛的增量步上保存结果，所以非线性模拟计算中得到的输出
14、数据量将是线性分析中可得到数据量的很多倍。因此在规划计算机资源时，就应考虑这些因素及所想进行的非线性模拟计算的类型。7.2.3自动增量控制ABAQUS 自动调整载荷增量步的大小，因此它能便捷而有效地求解非线性问题。用户只需在每个分析步计算中给出第一个增量的大小，ABAQUS 会自动调整后续增量的大小。若用户未提供初始增量大小，ABAQUS 会试图将该分析步的全部载荷都作为第一增量步载荷来施加，这样在高度非线性的问题中 ABAQUS 不得不反复减小增量大小，从而导致 CPU 时间的浪费。一般来说，提供一个合理的初始增量大小（见 7.4.1 节例题）将是有利的；只有在很平缓的非线性问题中才可能将一分析步中的所有载荷施加于一个增量步中。在一个载
