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1、2.4.1逆变换与逆矩阵学习目标:1.通过图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件, 能通过具体的投影变换,说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在;2.会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质;3.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵;4.会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律;学习重点：会判别逆矩阵是否存在,如何求逆矩阵;学习难点：熟练运用公式求逆矩阵.学习过程：1.复习与回顾1.1复习：（1）矩阵乘法的法则是: （2）矩阵乘法MN的几何意义：对向量连续实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.（3）矩阵乘法不满足交换律(师)这可能是第一次遇到乘法不满
2、足交换律的情况.此时,可以从几何变换角度进一步明确乘法一般不满足交换律.而在适当时候,有些特殊几何变换(如两次连续旋转变换)可满足交换律练一练（1）已知矩阵A=，矩阵B=，试求：AB; BA （2）已知矩阵A=，矩阵B=，试求：AB; BA 2.创设情境由前面学习我们知道:二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，它把点（x ，y）变换到点（x，y）.反过来:若知道变换后的结果（x，y）,能否“找到回家的路”,再让它变回到原来的（x ，y）呢？如图示：（x ，y ） （x，y）2.1情境分析（1）从变换结果来看，虽然经历了“走过去”又“回过来”的两次变换，但是最终还是回到了原地，变回了“自己”.（2
3、）从矩阵变换的角度来看：“走过去”对应变换矩阵A，“回过来”对应着变换矩阵B，先后两次连续的变换对应着两个矩阵的乘积，即BA.（3）再从变换结果来看，上述问题就变成了：对于下列给出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先TA后TB）的结果与恒等变换的结果相同?2.2引例分析例1 .对于下列给出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先TA后TB）的结果与恒等变换的结果相同？ （1）； （2）； （3）解：（1）对于反射变换TA，满足条件的变换即为其自身，即B=A；对于旋转变换TA，存在旋转变换TB，即B为绕原点顺时针旋转600的变换矩阵；（3）对于投影变换TA
4、，不存在满足条件的变换矩阵B.原因：投影变换不是一一映射；3.数学建构在数的运算中，当数a0时，ab=ba=1,其中b=a-1,b称为a的倒数（或称a的逆）.在矩阵运算中，单位矩阵E相当于数的乘法运算中的1，那么对于矩阵A,如果存在一个矩阵B,有AB=BA=E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，通常记做A-1.3.1逆矩阵的概念（1）定义：在矩阵运算中，单位矩阵E相当于数的乘法运算中的1，那么对于矩阵A,如果存在一个矩阵B,有AB=BA=E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，通常记A的逆矩阵为A-1.有了逆矩阵的定义，我们自然会去想：对于一个任意的二阶矩阵M，满足什么条件，它是可逆的？如果它是
5、可逆的，如何求出它的逆矩阵呢？例2. 求矩阵A=的逆矩阵.解：设矩阵A的逆矩阵为，则有故解得a=38, b=-18, c=-78, d=58,一般的，对于二阶可逆矩阵A=（ad-bc0）,(1)它的逆矩阵为A-1=(2)矩阵A可逆的充要条件：ad-bc0求一个矩阵的逆矩阵常用的方法有三种：（1）几何变形法（2）待定系数法（3）公式法3.2逆矩阵的性质性质1：若 二阶矩阵A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵A-1是唯一的。证明：如果A可逆，假设B1，B2都是A的逆矩阵，那么就有AB1=B1A=E，AB2=B2A=E，于是B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2，因此若 二阶矩阵A是可逆
6、矩阵，则 A的逆矩阵A-1是唯一的.性质2：若A可逆，则A-1亦可逆，且（A-1）-1=A.性质3：二阶矩阵A,B均存在可逆矩阵，则AB也存在可逆矩阵，且(AB)-1=B-1A-1从几何变换的角度来看：连续进行两次几何变换的逆变换应该是进行后一次变换的逆变换，再进行前一次变换的逆变换。这个道理好比“先穿袜子再穿鞋子”这一“变换”的“逆变换”为“先脱鞋子再脱袜子”。证明：若二阶矩阵A,B都存在逆矩阵，它们分别为A-1，B-1，故AA-1= A-1A=E，BB-1= B-1B=E, 于是，(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E (B-1A-1) (AB)= B (A A-1) B-1=BEB-1=BB-1=E3.3思考（1）（2）4.归纳总结(1)逆矩阵的概念及运算性质;(2)逆矩阵的计算方法;(3)逆矩阵A-1存在的
