偏微分方程word电子讲义

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1、偏微分方程 偏微分方程是一个非常广泛的课题，它包含分析的许多方面内容。就我们现在的知识水平来说，我们只了解很少一点东西。从十八世纪初开始，人们就开始结合物理、力学问题来研究偏微分方程，最早研究的几个方程是弦振动方程、热传导方程及调和方程，这部分理论已经被彻底地研究了，而且近乎完备，把它们称为偏微分方程的古典理论。 十八世纪后期在连续介质力学中研究流体的运动规律，在考虑流体的粘性时，描述运动规律的方程称为Navier-Stokes方程组，而在不计流体的粘性时，称为Euler方程组。在此时期，描述弹性体运动规律的方程称为Saint Venant方程组。到了十九、二十世纪，人们发现了描述电磁场运动规

2、律的Maxwell方程组，描述微观粒子运动规律的Schrodinger方程及Dirac方程组，广义相对论中确定引力场的基本方程Einstein方程以及基本粒子规范场理论的基本方程Yang-Mills方程，在微分几何中研究极小曲面的极小曲面方程等等。随着科学理论变得复杂，所提出的偏微分方程就愈多而且更加变化多端，可能出现的偏微分方程和方程组类型之多是出于想象的。 我们的目的是介绍现代偏微分方程理论中用到的一些技巧和方法。众所周知，一本偏微分方程的书只能包括已有的基本材料的一小部分，因此我们必须作出选择，如何选择不是立足于逻辑基础上的，这种选择的主观性是相当明显的。 偏微分方程的内容是研究偏微分方

3、程解的各种性质。通常考虑以下问题 1对单个方程或方程组，应配以怎样的初值条件与边值条件使之具有解，这是解的存在性问题。在研究解的存在性时，要明确解赖以存在的函数类。 2解的唯一性或究竟有几个解，要明确使解为唯一的函数类。 3解的正则性或光滑性。是否为古典解、强解还是弱解？解具有几阶可微性？ 4解的连续依赖性，必须明确是什么空间、什么范数实现的。通常考虑的是解关于初、边值或关于方程系数，或在方程为线性时关于自由项的连续依赖性。 5定解区域与影响区域。 6解的间断线、激波线和激波面。 7极值原理。 8其它性质。 9解如何逼近？如何计算？这属于微分方程与计算数学的边缘分支。 偏微分方程研究的重点是解

4、的存在唯一性和正则性，这是最基本的内容。 从偏微分方程的发展来看，最初人们试图用研究常微分方程的一套方法来研究偏微分方程。简单的常微分方程总能通过积分来求得通解，复杂一些的常微分方程虽然不能简易地求得通解，但通解总是存在的。对于带有初、边值条件的特解，可把条件代入通解中，决定出通解中任意常数而得到。上述方法能否搬到偏微分方程的求解过程中去。简单的偏微分方程可以求得通解，如的通解为，为任意函数。用这样的通解来定出满足初、边值条件的特解还是比较便于应用的。一阶偏微分方程能套用常微分方程求通解再定特解的方法。线性一阶方程用特征线解法，非线性一阶方程用特征带解法以及Hamilton-Jacobi方法,

5、 所以一阶偏微分方程的解法，常附在常微分方程的最后。高阶方程开始也是按通解的想法研究。代表性的成果是Cauchy-Kovaleskaya定理，就二阶方程来说结果是：当均为解析函数时，这个问题有一解析解。这是一个类似于通解的解，结果是十分一般的，但用处不大。 以后发展到分型研究，我们主要介绍典型的二阶方程，即椭圆、双曲、抛物型线方程，这方面的研究是很深入的，可以说是已经基本成熟了。设自变量为，未知函数为，则关于的偏微分方程的一般形式是其中是其变元的已知函数，简记的一阶偏导数，而一般地简记的阶偏导数为整数）在偏微分方程中所含未知函数的偏导数的最高阶数，称为偏微分方程的阶。如果在一个偏微分方程（组）

6、中，所有的未知函数及其一切偏导数都是线性地出现的，则称这个偏微分方程（组）为线性偏微分方程（组），否则称为非线性偏微分方程（组）。如果所考察的非线性偏微分方程（组）对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的，则称其为拟线性偏微分方程（组）。对于拟线性方程（组），其含有未知函数的一切最高阶偏导数的部分，即主部，除了可能依赖于自变量外，还可能依赖于未知函数及其较低阶的偏导数。特别，若这些系数只是自变数的函数，而和未知函数及其偏导数无关，则称此偏微分方程（组）为半线性偏微分方程（组）。对二阶线性偏微分方程其中，及是维空间的某区域中的函数，不同时为零，且不失一般性可设. 引入二次型若在区域中的一点，二次型为

7、正定或负定，则称方程在点为椭圆型；若二次型在点为退化，且其特征值只有一个为零，而其余特征值有同一符号，则称方程在点为抛物型；若二次型在点不退化，又不为正定或负定，且有个特征值具有同一符号，则称方程在点为双曲型。还可能出现更复杂的情况。二次型在点既不退化，又不正定或负定，而正、负特征值的个数都不止一个，这时方程称为在点为超双曲型；二次型在点退化，但有好几个特征值为零，而其余的特征值同号，这时方程在点为超抛物型。如果考察整个区域，就有：（1）若在中的每一点，方程都是双曲型，称方程在区域中为双曲型。（2）若在中的每一点，方程都是抛物型，就称方程在区域中为抛物型。（3）若在中的每一点方程都是椭圆型，就

8、称在中方程为椭圆型。（4）若在中的一部分区域方程为双曲型，在另一部分区域上方程为椭圆型，在区域的分界线上，方程为抛物型，这种类型的方程称为混合型方程。例如 在平面区域上分别为双曲型、抛物型、椭圆型方程。而Tricomi方程在上半平面为椭圆型，在下半平面为双曲型，而在为抛物型，它在整个平面上就是一个混合型方程。分型研究在偏微分方程研究上是进了一步。 研究偏微分方程的方法是很多的，例如 1位势论 2积分方程法 3变分法 4差分法 5闸函数法 6上、下解的方法 7连续延拓法 8泛函方法我们不可能介绍所有的方法，只能侧重于主观上认为重要的部分。 在偏微分方程分型研究后发现了无解方程，在偏微分方程的基础

9、理论上，又跨进了一步。偏微分方程的通解是难求的，但长期以来，对各类偏微分方程求若干特解是并不困难的，因此，在一段时期里人们相信，除了属于无意义的情况，如无实解外，每一偏微分方程有一大类解是不成问题的，特别是相信一般线性方程其中，总有一大类解。但是，事实并非如此，例如 没有任何实解，不仅没有古典解，也没有任何强解和弱解，参见： 1L. Hrmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. 2M. Schechter, Modern Methods in Partial Differential Equati

10、ons, Mcgraw-Hill, 1977. 3陈亚浙，吴兰成，二阶椭圆型方程与椭圆型方程组，科学出版社，1991. 4D. Gilbarg and N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, 1983. 第一章 线性椭圆方程的Schauder理论 我们讨论Dirichlet问题 （1.1）古典解的存在性，其中为线性椭圆算子这里先用下面的定理来引出要做的主要事情。 定理1.1（连续性方法）设是Banach空间，是线性赋范空间，和是的有界线性算子，对于，令如

11、果存在常数使得对于成立则为满射的充要条件是为满射 证明：只须证明：存在常数，使对任意，只要是满射，则对，是满射。 假设对某，是满射的，由知是单射的，于是是双射，存在逆映射。要证对以下方程有解：此方程等价于等价于而可见当则在是满射的。证毕 设在（1.1）如取，并考虑 （1.2）而取为（1.1）中方程左端的算子，则从定理1.1，为建立问题（1.1）的可解性，需要 1适当地选取空间和 2对建立先验估计 3证明为满射，即建立Poisson方程Dirichlet问题（1.2）的可解性。 我们适当选取的空间和实际上都属于所谓的Hlder空间。 定义1.1引入半范 如，则称在上具有指数为的Hlder连续性，

12、称为的Hlder系数。 为多重指标 定义1.2对非负整数和实数，引入以下空间 一般记，. 显然和都是Banach空间，并且。 定义1.3（1）称为Laplace方程的基本解，其中是，内单位球的体积。 （2）设是有界可积的，则称为的Newton位势。 有关的事实为 （1） （2） （3） 定理1.2（1）若在内连续，分片光滑，则且 （2）若在内是Hlder连续的（指数为，），则且这里分片光滑，为的外法线方向。 （3）在（2）的条件下满足 证明（1），积分收敛，其中为包含原点的有界区域。这样在连续时，一致收敛，这样有 （2）取，记，因我们形式地有 （1.3）为了使（1.3）式确实成立。只须证明积分

13、对是局部一致收敛的。对 积分是一致收敛的，因为积分无奇性，因为，从而（1.3）式确实成立，这样(3) 因为上式左端第一项为零。为计算第二项中的曲面积分，注意而在球面上所以 定理1.3（内部估计）设，是的Newton位势，则，且 证明：对，设，则只须证取则由定理1.2有 下面分别估计各个积分类似可得 对于，由中值定理，知在与的连续上有使注意，故，于是 对于，由分部积分可得而当时，因，故；当时，因，故，于是类似可得 对，注意由中值定理，在与之间存在使而当，时，这样 定理1.4（靠边估计）设，为的Newton位势，则且 证明与定理1.3相仿，首先，当时，由定理1.2有为此注意然后，仿定理1.3的证明，可以估计出. 最后，利用方程和上面所得的的估计，便可估计出 下面我们来推导解的先验估计，即得出所谓Schauder估计。我们按如下步骤来做： 1对Poisson方程具紧支集的解：利用Newton位势。 2对常系数方程具紧支集的解：利用用坐标变换 3对变系数方程具小支集解：利用摄动方法 4对变系数方程解，去掉小支集限制：引进内部范数。 定理1.5设满足于，则 证明：由定理1.2，取，且将零延拓到之外，有 再由定理1.3便得求证. 定理1.6设常系数满足，其中常数。若满足方程