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1、与圆有关的位置关系重点、难点： 1. 重点： （1）点与圆、直线与圆位置关系的判断。 （2）三角形外接圆的性质。 （3）切线的识别及切线性质的应用。 （4）切线长定理。 （5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 （6）两圆相交、相切的性质和判定。 （7）圆和圆的位置关系。 2. 难点： （1）直线与圆相切的性质和判定。 （2）切线的判定方法：切线的性质。 （3）要充分发挥基本图形在证、解题中的作用，正确恰当地根据基本规律来添加辅助线。 两圆相交，可作公共弦。 两圆相切，可作公切线。 有半圆，可作整圆；有
2、直径，可作直径所对的圆周角。 圆与圆要心连心，即作连心线。【知识纵览】 1. 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种情况，与点到圆心的距离（d）、圆的半径（r）之间有着紧密的联系。也就是说：点与圆的位置关系，不仅可以用图形来表现，还可以由数量关系来表示，其对应关系可简明地表示如下：图形（点与圆）的位置关系数量（d与r）的大小关系点在圆内dr点在圆上dr点在圆外dr 2. 直线与圆的位置关系的性质与判定 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：位置关系相离相切相交图形公共点个数012数量关系drdrdr 3. 三角形内心与外心的
3、区别图形名称确定方法性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边垂直平分线的交点OAOBOC；外心不一定在三角形的内部内心（三角形内切圆的圆心）三角形三个内角的平分线的交点ODOEOF；OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB 4. 两圆的位置关系、数量关系及识别方法 设两圆的半径分别为R和r，圆心距（圆心间的距离）为d。位置关系图形公共点个数R、r与d的关系外离0外切1相交2内切1内含0 上表中，两圆内含时，如果d0，则两圆同心，这是内含的一种特殊情况。【典型例题】 例1. O的半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P点距离为1。问：P点、Q点和O是什么位置关系？为什么？ 解：P
4、O22.5 P点在O内部 Q点和O点的距离较复杂，如下图，需分类讨论。 当Q点在OP延长线上时，则Q点和O点距离最大，最大距离为。 当Q点在OP上时，则Q点和O点距离最小，最小距离为。 当Q点处在点和点时，则，如上图所示。 综上所述，Q点既可能在O上，也可能在O外，或在O内。 例2. 在平面直角坐标系xOy中，当以点O（4，3）为圆心的圆分别满足下列条件时，求其半径r的取值范围。 （1）与坐标轴有惟一交点。 （2）与坐标轴有两个交点。 （3）与坐标轴有三个交点。 （4）与坐标轴有四个交点。 解：如下图，由题意，圆心O到x轴的距离，到y轴的距离。 （1）O与坐标轴有惟一公共点 只可能与x轴有惟一
5、公共点 （2）由条件知，O与x轴相交，但与y轴无公共点 （3）O与坐标轴有三个交点 O与x轴必相交且与y轴必有公共点 若O与y轴有惟一公共点，则r4 若O与y轴有两个公共点，则其中一个公共点必为原点，故r5。 所求r的值为r4或r5 （4）O与坐标轴有四个交点 O与两坐标轴都相交，且不过原点 r4且r5 例3. 如图所示，已知：AB是O的直径，BC是O的切线，切点为B。OC平行于弦AD，试说明：DC是O的切线。 解：连结OD 因为OAOD，所以12 又因为ADOC，所以13，24 因此34 而OBOD，OC公共，于是将OBC沿OC翻折可与ODC重合 所以ODCOBC 又BC是O的切线，所以OB
6、C90 从而ODC90，ODDC，故DC是O的切线 例4. 如图所示，已知AB、AC分别是O的直径和弦，D为劣弧上一点，DEAB于点H，交O于E，交AC于点F，P为ED延长线上一点。 （1）当PCF满足什么条件时，PC与O相切，请说明理由； （2）当点D在劣弧上的什么位置时，才能使。 精析与解答：（1）如图所示，当PCF为等腰三角形，PCPF时，PC与O相切 连结OC，当PCPF时，PCFPFC DEAB，1AFH90 1PFC90，即1PCF90 又OAOC，12 2PCF90，即PC与O相切于点C （2）当D为劣弧中点时， 连结AE，D为中点，34 又ADFEDA，ADFEDA ，即 例5
7、. 如下图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，CD切O于点C，ADCD于点D，C以CD为半径。 求证：AB是C的切线。 分析：要证AB是C的切线，就是要证点C到AB的距离CECD。即要证ACD和ACE全等。 证明：过点C作CEAB于点E，连结AC、BC、OC CD是O的切线，AB是O的直径 CDOC，ACBC 在ACD和ACE中 ACDACE CECD AB是C的切线 例6. 如下图，设I与ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点F、D、E，连结BI、CI、ED、FD。若A60，则BIC_，EDF_。 分析：本题所求的两个角分别是I的圆心角和圆周角。如果考虑用圆心角等性质来求。但条件不足，所
8、以只能用三角形的内心性质及三角形的内角和定理来求。 解：连结IE、IF I是ABC的内切圆 I分别切AB、AC于F、E IFAB，IEAC AFIAEI180 AEIF180 例7. 如图所示，O半径为R，CD为O直径，以D为圆心。r为半径的圆与O相交于A、B，BD的延长线交D于E点。 求证： 证明：本题中的O经过D的圆心，是一种特殊相交，则连接AD。可知AD即为O的弦，又为D的半径，两圆相交可作公共弦，连接AB，对R、r进行选择，然后用三点定形找到共边型的相似三角形。 连结AD、AB、OA、AC 又CB AODADE AOD与ADE都是等腰三角形且顶角相等 它们的底角也相等，即ADODAE
9、AODADE （相似三角形对应边成比例） 即 例8. 已知：如图所示，在直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AB8cm，AD24cm，BC26cm，AB为O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s速度运动。P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形？等腰梯形？ （2）当t分别为何值时，直线PQ与O相切？相交？相离？ 精析与解答：（1）四边形PQCD为平行四边形时，只要PDCQ即可；四边形PQCD为等腰梯形时，则要PQCD，PDQ
10、C 当QCPD时，有，解得t6 当t6s时，四边形PQCD为平行四边形 过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F（如图甲所示），则由等腰梯形的性质可知EFPD，QEFC2，QCPD4 ，解得t7 当t7时得四边形PQCD为等腰梯形甲 （2）讨论动直线PQ与O的位置关系，关键是要抓住直线PQ与O相切时的情况计算出t的值，加以分析推理可以得出PQ与O相交、相离时t的值。 设运动t s时，直线PQ与O相切于点G，过P作PHBC，垂足为H（如图乙所示）乙 PHAB，BHAP 即PH8，HQ264t 由切线长定理，得： 由勾股定理，得： 即 得，解得 t0时，PQ与O相交，当时，Q点运动到B点，P点尚未运
11、动到点D，但也停止运动，此时PQ直线与O相交 或8s时，直线PQ与O相切； 当或时，直线PQ与O相交； 当时，直线PQ与O相离。 例9. 如图甲所示，施工工地的水平面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是多少？甲 精析与解答：如图乙所示，连结乙 设与外切于点A，则 在中， 最高点C到水平面的距离 例10. 如图所示，两等圆和相交于A、B两点，且两圆互过圆心，过B作任一直线，分别交、于C、D两点，连结AC、AD。 （1）试猜想ACD的形状，并给出说明。 （2）若已知条件中两圆不一定互相过圆心，试猜想三角形的形状是怎样的？说明你的结论成立的理由。 （3）若，是两个
12、不相等的圆，半径分别为R和r。那么（2）中的猜想还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，那么AC和AD的长与两圆半径有什么关系？说明理由。 精析与解答：（1）ACD为等边三角形 理由：因为两圆是等圆，且互相过圆心，连结 则 所以 所以ADBACB60 所以ACD为等边三角形 （2）ACD为等腰三角形 理由：因为两圆是等圆，连结 则 所以 所以ADBACB 所以ACD为等腰三角形 （3）不成立，此时 如图所示，分别作、的直径AE和AF分别交两圆于E、F点，连结CE、DF、AB，则ACEADF90 ACEADF 【模拟试题】（答题时间：80分钟）一. 选择题（每小题4分，共24分） 1. 下列语句不正确的是（ ） A. 过一点可以作无数个圆 B. 过两点可以作一个圆 C. 过任意三点都可以作一个圆 D. 过任意四个点
