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2、 word 版)双曲线知识点总结及练习题(word 版可编辑修改)的全部内容。a 2(完整 word 版)双曲线知识点总结及练习题(word 版可编辑修改)一、双曲线的定义1 、第一定义 : 到两个定点 F 与 F 的距离之差的绝对值等于定长（ |F F | ）的点的轨迹1 2 1 2（ PF - PF =2 a F F （ a1 2 1 2为常数）。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：(1）距离之差的绝对值。（2)2a|F F |.1 2当|MF MF =2a 时，曲线仅表示焦点 F 所对应的一支；1 2 2当|MF |MF |=2a 时，曲线仅表示焦点 F 所对应的一支；1 2 1当
3、2a=F F |时,轨迹是一直线上以 F 、F 为端点向外的两条射线;用第二定义证明比较简 1 2 1 2单 或两边之差小于第三边当 2aF F 时，动点轨迹不存在。1 22、第二定义:动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l（准线 ）的距离之比是常数e(e1）c时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直l线叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程（ b 2 =c 2 -a 2 ，其中| F F =2c)1 2x 2 y 2焦点在 x 轴上： - =1 （a0,b0)a 2 b 2焦点在 y 轴上：y 2 x 2- =1 （a0，b0） a 2 b 2（1）如果 x 2 项的系数是
4、正数，则焦点在x 轴上;如果 y 2 项的系数是正数,则焦点在 y 轴上。a 不x 2 y2x 2 y 2M MF - MF =2 a 2 a 0)m n三、双曲线的性质标准方程(焦点在 x轴）标准方程（焦点在 y 轴）双曲线x 2 y 2- =1( a 0, b 0) a 2 b 2y 2 x 2- =1( a 0, b 0) a 2 b 2第一定义:平面内与两个定点 F ， F 的距离的差的绝对值是常数（小于1 2F F ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点 ,两焦点的 1 2距离叫焦距. (1 2 1 2)PyyxyyF2F1F2xxx定义P第二定义：平面内与一个定点 F 和
5、一条定直线 lF1的距离的比是常数 e ，当 e 1 时,动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 e（ e 1 ）叫做双曲线的离心率 .PyyPxPyFy2F1F2xxxPF1范围x a ， y Ry a ， x R对称轴对称中心x 轴 ， y 轴；实轴长为 2a ，虚轴长为 2b 原点 O (0,0) b 虚c ,和 a虚 - =1(完整 word 版)双曲线知识点总结及练习题(word 版可编辑修改)焦点坐标F ( -c,0) 1F (c,0)2F (0, -c) 1F (0, c)2焦点在实轴上， c = a2+b2；焦距： F F =2c 1 2顶
6、点坐标（ -a ，0） ( a ，0)(0, -a ，） （0， a ）离心率e =ca( e 1）， c 2 =a 2 +b 2 ， e 越大则双曲线开口的开阔度越大准线方程x =a 2cy =a 2c顶点到准线的距a 2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧 ;两准线间的距离： 顶点 A （ A ）到准线 l （ l )的距离为a -1 2 1 2c2 ac2离顶点 A （ A )到准线 l （ l 1 2 2 1）的距离为 a 2c+a焦点到准线的距焦点 F （ F ）到准线 l （ l ）的距离为 1 2 1 2c -a 2 b 2=c c离焦点 F （ F ）到准线 l （ l 1 2 2
7、1）的距离为 a 2c+c渐近线方程y = x （ )，-c, a 实 b2a b 2 x =bay( ）实将右边的常数设为 0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解共渐近线的双曲线系方程x 2 y 2- =k （ k 0 ) a 2 b 2y 2 x 2- =k ( k 0 ） a 2 b 2x 2 y 2双曲线 - =1 与直线 y =kx +b 的位置关系： a 2 b 2直线和双曲线的x2 y 2 利用 a2 b 2y =kx +b 转化为一元二次方程用判别式确定。位置二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦 AB 的弦长 AB = 1 +k2(x +x ) 1 22-4x x1
8、 2通径： AB = y -y =2 12ba2与椭圆一样过双曲线上一点x x y y0 - 0a 2 b 2=1 或利用导数y y x x0 - 0 =1 或利用导数 a2 b2的切线( k 1 22 = 1+k 2 0 0(完整 word 版)双曲线知识点总结及练习题(word 版可编辑修改)四、双曲线的参数方程：x =a sec y =b tanqq椭圆为x =a cos q y =b sin q五、 弦长公式1、直线被双曲线截得的弦长公式 ,设直线与椭圆交于 A(x ,y ）B（x ,y ）两点，则1 1 2 2AB = (1+k2)(x -x1 2)2=(1+k2)(x1+x2)2-
9、4 x x1 2 1 = 1+ y -y )2k 为直线斜率 1 (y1+y2)2-4 y y1 2提醒解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、 设而不求的思想方法。2、通径的定义:过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 A、B 两点,则弦长 | AB |=2ba2。3、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解 六、焦半径公式双曲线x 2 y 2- =1 （a0,b0）上有一动点 M ( x , y ) a 2 b 2左焦半径：r=ex+a yy右焦半径：r=ex-a MMFMxxF当 M ( x , y ) 在左支上时 |
10、 MF |=-ex -a ， | MF |=-ex +a 0 0 1 0 2 0FMF当 M ( x , y ) 在右支上时 | MF |=ex +a ， | MF |=ex -a0 0 1 0 2 0左支上绝对值加号，右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则： (与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号）MF =ex +a 1 0MF =ex -a 2 0构成满足MF1-MF2=2ax 2 y 2与 2 22 20 0 (完整 word 版)双曲线知识点总结及练习题(word 版可编辑修改)注：焦半径公式是关于 x0的一次函数，具有单调性，当 M ( x ,
11、y )0 0在左支端点时 | MF |=c -a ，1| MF |=c +a ,当 M ( x , y ) 2 0 0七、等轴双曲线在左支端点时 | MF |=c +a ， | MF |=c -a1 2- =1 （a0，b0）当 a =b 时称双曲线为等轴双曲线 a 2 b 21。 a =b ;2.离心率 e = 2 ；3。两渐近线互相垂直，分别为 y= x ；4。等轴双曲线的方程 x2-y2=l， l0 ；八、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通 常称它们互为共轭双曲线。x 2 y 2 x 2 y 2- =l - =-l a 2 b 2 a 2 b 2互为共轭双曲线，它们具有共同的
