《线性代数测试试卷及答案分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数测试试卷及答案分析（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数（ A 卷）一选择题 (每小题 3 分,共 15 分)1. 设 A B 是任意 n 阶方阵 , 那么下列等式必成立的是 ( )(A)AB BA (B)(AB)2A2 B2(C) ( A B)2A22 ABB2(D) ABB A2.如果 n 元齐次线性方程组 AX0 有基础解系并且基础解系含有s(sn) 个解向量 , 那么矩阵 A 的秩为 ()(A)n(B)s(C)ns(D)以上答案都不正确3. 如果三阶方阵 A( aij )3 3 的特征值为 1,2,5 , 那么 a11a22a33 及 A 分别等于 ()(A)10, 8(B)8, 10(C)10,8(D)10,84.设实二次型 f
2、( x1 , x2 )( x1 , x2 )22x1 的矩阵为 A , 那么 ()41x2(A)23(B)22(C)A21(D)A10A1A12101345. 若方阵 A的行列式 A 0，则( )(A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关 , 列向量组线性无关(C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关 , 行向量组线性无关二填空题 (每小题 3 分,共 30 分)1如果行列式D 有两列的元对应成比例 ,那么该行列式等于；1002.设 A210 ， A* 是 A 的伴随矩阵，则 (A*) 1；3413.设 ,是非齐次线性方程组 AX b
3、 的解 ,若也是它的解 , 那么；4.设向量(1,1,1)T 与向量(2,5, t )T 正交 ,则 t；5.设 A 为正交矩阵 ,则 A；1116.设 a, b,c 是互不相同的三个数 ,则行列式 abc；a2b2c27.要使向量组1(1, ,1)T , 2(1,2,3) T ,3(1,0,1)T 线性相关，则；8.三阶可逆矩阵A 的特征值分别为 1,2, 3, 那么 A 1 的特征值分别为；第1页共 4页9.若二次型 f ( x1, x2 , x3 )x21x2 25x2 32t x1 x2 - 2x1 x34x2 x3 是正定的，则 t 的取值范围为；10. 设 A 为 n 阶方阵 ,
4、且满足 A22A4I0 , 这里 I 为 n 阶单位矩阵 , 那么 A 1.三计算题（每小题9 分，共 27 分）210101.已知A121， B01 ，求矩阵 X 使之满足 AXXB .0120012342. 求行列式2341 的值.341241233 求向量组1(1,0,1,0), 2(2,1,3,7),3 (3, 1,0,3,), 4(4,3,1, 3,) 的一个最大无关组和秩 .四 (10 分 )设有齐次线性方程组x1(1)x2x30,(1)x1x2x30,x1x2(1)x30.问当 取何值时 , 上述方程组 (1)有唯一的零解 (2)有无穷多个解 ,并求出这些解 .五 (12 分 )
5、求一个正交变换 XPY ,把下列二次型化成标准形 :f ( x1 , x2 , x3 ) x21x22x234x1 x24x1x34x2x3 .六 (6 分)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1 :ax2by3c0,l2:bx2cy3a0,l3:cx2ay3b0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为abc0 .线性代数（ A 卷）答案一1.D2. C3. B4. A5. A二1.0 2.(A*) 1A3.1 4.35. 1或 -16. ( ca)( cb)(ba) 7. 0 8.114111,9.t 0 10.AI23542三 1.解由AXX B得X(A I) 1B.(2分)第2页共 4
6、页下面求 (AI ) 1. 由于110A I111(4分)011而011(A I)111 1.(7分 )110所以0111001X (A I)1B1110 111.(9 分)110001112341023412342341103411341(4分 )2. 解412104121041231412310123112312340113分)160(9分 ) .1004(80400043. 解 由于12341234123401130113r35r20113130r3r1533r47r2 0021210073307330042412340113r42r3 00212(6 分)0000故向量组的秩是3，1,
7、2 , 3 是它的一个最大无关组。(9 分)四解方程组的系数行列式111A111( 1)(2分 )2) (2111第3页共 4页当 A(1)(2) 20 , 即1 且2 时 , 方程组有唯一的零解;(4 分)当1 时 ,A(1)(20 , 方程组的系数矩阵为2)121A211,112它有一个二阶子式120,因此秩( A)2n ( 这里 n 3 ),故方程组有无穷多个解.对 A施231行初等行变换 , 可得到方程组的一般解为x1x3 ,x2x3, 其中 x3 可取任意数 ; (7分 )x3x3,当2时, A( 1)( 2)20 , 方程组的系数矩阵为111A 111 ,111显然 , 秩 ( A
8、 ) 1 n ( 这里 n 3 ), 所以方程组也有无穷多个解 . 对 A 施行初等行变换可得方程组的一般解为x1x2x3 ,x2x2 ,其中 x2 , x3 可取任意数 . (10分 )x3x3 ,五解 二次型的矩阵为122A 212,(2 分)221因为特征多项式为122IA212( 1)2(5) ,221所以特征值是1(二重)和 5. (4分 )把特征值1 代入齐次线性方程组( IA) X0得2x12x22x30,2x12x22x30,2x12x22x30,解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值1 的特征向量为第4页共 4页1(1,0,1)T ,2(0,1, 1)T .利用施密特正交化方法将1 ,2正交化 :11(1,0, 1)T ,2(1,1,1)T ,
