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1、 2013考研数学模拟试卷二【数二】解析一、选择题（1）C解：由得于是可见为曲线的拐点，故选（C）（2）A解：设，则所以，（3）B解：由一阶导数判断函数单调性，二阶导数判断凹凸性，选B。(4) D解：由题设可知积分区域在极坐标系下是，的图形如图所示.它在直角坐标系下是或，因此，这个二重积分在直角坐标下化为累次积分应为或.由此可见（D）是正确的，应选（D）.（5）D解：等式两边对x求导，由一阶非齐次微分方程通解公式得，再由得C=1(6) B （7）C解：因，满足.两边取行列式，显然有，（A）成立.又，移项，提公因子得，.故，都是可逆阵，且互为逆矩阵，从而知方程组只有零解，正确. 不可逆是错误的，
2、又因，故，从而有，得，从而有成立.故（1）、（2）、（3）是正确的，应选（C）.（8）解：因为 与的基础解系等价，所以与基础解系可以相互线性表示，则一定为的解，且的任一解皆可由线性表示。又因为不是的基础解系，所以线性相关。由。二、填空题（9）解：有三个间断点，其中为无穷间断点，曲线有两条铅直渐近线（非无穷间断点）。又由泰勒公式，得，从而，故是曲线的斜渐近线。（10）；解：可化为，通解为。所得旋转体的体积为。因为，所以为最小点，因此所求函数为。(11) 解：因故 原式（12）7解：由复合函数求导法则，逐层展开有，所以.（13）解：原式=（14）1解：由知，若令，则可逆，且，即AB，从而，即r（）
3、=r（）=1三、解答题解：（1）记为的反函数。由等式， 两边再对求导数得 。 注意到则，因此。 （2）按导数定义得。 （16）解：（1）（2）因为 ，令 当时，（17）解：（1）令， 则。 （2）。，。因为，所以单调增加。又因为，所以存在唯一的，使得。当时，；当时，所以为在上唯一的最小点。 （18）解：将在处按泰勒公式展开，有令分别为得，两式相减得，由于在上连续，不妨设在上的最大值，最小值为,则，根据介值定理，使得于是，即对于，有（19）解:水面Oxydx建立坐标系，任取小区间x,x+dx-R，R相应的柱体薄片，体积为 移至水面时薄片移动R-x，所受力重力与浮力之差 ，移至水面做功整个移出水面
4、时，此薄片离水面距离为R+x，所做的功为因此，所做的功为=（20）解：由，有，在条件，即，中令得，于是满足一阶线性微分方程.通解为，由分部积分公式，可得，所以.注：也可由，满足的偏微分方程，直接得到满足的常微分方程.由，令，上式转化为常微分方程，所以，得满足的微分方程.（21）解：由全微分方程的条件知：，即，对应的齐次方程的特征根为 齐次方程的通解为 。因为不是特征根，则方程的特解形式为 ，代入方程解得，故 ，方程的通解为 ，代入初始条件，得 ，因此，所求函数为 将其代入原方程中，得全微分方程再求其满足 的积分曲线。因方程为全微分方程，其通解为由条件 得 ，故所求积分曲线为 （22）解：（1）设的特征值为，则为所对应的特征向量，由满足，有于是，从而设的特征值为。 （2）3所对应的特征向量为设，由实对称阵不同特征值对应的特征向量正交，设0所对应的特征向量为，则有 所以0所对应的特征向量为。 （3）令，则，。 （23）解：（I）当及时，方程组均有无穷多解当时，则线性相关，不合题意当时，则线性无关，可作为三个不同特征值的特征向量由知（II），可见的基础解系即为的特征向量 2
