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1、第三章 函数的基本性质 http:/ 题：3.4-1-函数的基本性质-奇偶性(1课时)教学目标：1. 掌握偶函数与奇函数的概念，会判断一些函数的奇偶性；掌握偶函数与奇函数图像的性质。2. 通过函数奇偶性概念的形成过程，培养观察、归纳、抽象能力和数形结合思想。3. 感悟数学美。教学重点：函数的奇偶性概念及其判断教学难点：判断函数的奇偶性教学过程：引子：前面我们学习了函数的定义，研究了函数的定义域，解析式以及和函数、积函数。今天开始我们要来研究函数的一些性质。研究方法：从特殊到一般，即“观察、归纳、抽象”的方法。目前我们了解的几种函数：OxyOxyOxy(1)正比例函数：如f(x)2x； (2)反
2、比例函数：如f(x)； (3)一次函数：如f(x)x1；OxyOxyOxy(4)二次函数：如f(x)x22； (5)常数函数：如f(x)2； (6)分段函数：如f(x)|x|。研究内容：函数图像的对称美1、关于y轴对称的轴对称函数图像：(4)、(5)、(6)2、关于原点对称的中心对称函数图像：(1)、(2)课题：研究图像关于y轴对称的函数。问题(1)：是不是所有的二次函数都关于y轴对称？显然不是。如f(x)x22x的图像关于直线x1对称。问题(2)：符合什么条件的二次函数才关于y轴对称？研究f(x)ax2bxc(a0)可知：f(x)a(x)2c当0即b0时，二次函数f(x)ax2c(a0)的图
3、像关于y轴对称。问题(3)：如果给你一个函数，你能否判断其是否关于y轴对称？作函数的图像（学生的想法）。点拨：作函数图像的依据是函数解析式，说明函数解析式决定了图像的性质。研究方向：研究函数解析式的特征。课题：如何用自变量x及其函数值f(x)来刻画函数图像的对称性呢？个案研究：如f(x)x22（让学生自己也找一个）研究过程(1)：关于y轴对称的点的坐标具有什么特点？横坐标为相反数，纵坐标相等。点P1（x1，f(x1)）与点P2（x2，f(x2)）关于y轴对称，可得x2x1，f(x2)f(x1)即：若P1（x1，f(x1)）与点P2（x1，f(x1)）关于y轴对称，则f(x1)f(x1)显然逆命
4、题也成立：若f(x1)f(x1)，则点P1（x1，f(x1)）与点P2（x1，f(x1)）关于y轴对称。重要发现：f(x1)f(x1)是点P1（x1，f(x1)）与点P2（x1，f(x1)）关于y轴对称的充要条件！研究过程(2)：在函数f(x)x22图像上任取一点，关于y轴对称的对称点是否一定还在其图像上呢？任取一点P1（a，f(a)），关于y轴对称的对称点为P2（a，f(a)）。因为（a，f(a)）在函数图像上，只要证明f(a)f(a)即可。f(a)(a)22a22f(a) 函数f(x)x22图像上任意一点关于y轴对称的对称点均在其图像上则函数f(x)x22的图像关于y轴对称研究结论：图像关
5、于y轴对称的函数具有以下特征：对于函数f(x)定义域D内的任意实数x，都有f(x)f(x)。此类函数yf(x)叫做偶函数。研读定义：(1) f(x)与f (x)均存在，则xD且xD，得定义域关于原点对称。(2) 判断一个函数是偶函数时，用任意性进行证明；判断一个函数不是偶函数时，只需要举出一个反例即可。例1 判断下列函数是否为偶函数？(1)f(x)2x43x2； (2) f(x)； (3) f(x)解：(1)f(x)2x43x2的定义域D(，)f(x)2(x)43(x)22x43x2f(x)f(x)2x43x2是偶函数(2) f(x)的定义域D(，1)(1，)，不关于原点对称f(x)不是偶函数
6、(3) f(x)的定义域D(，0)(0，)f(1)1，f(1)1 f(1)f(1)则f(x)不是偶函数反思：判断函数是否偶函数，先看定义域是否关于原点对称，再研究f(x)与f(x)关系。问题：我们知道函数f(x)的图像关于原点对称。那么，图像关于原点对称的函数具有怎样的特征呢？（分组研究）重要发现：f(x1)f(x1)是点P1（x1，f(x1)）与点P2（x1，f(x1)）关于原点对称的充要条件！研究结论：图像关于原点对称的函数具有以下特征：对于函数f(x)定义域D内的任意实数x，都有f(x)f(x)。此类函数yf(x)叫做奇函数。研读定义：(1) f(x)与f (x)均存在，则xD时必有xD
7、，得定义域关于原点对称。(2) 判断一个函数是奇函数时，用任意性进行证明；判断一个函数不是奇函数时，只需要举出一个反例即可。小结：函数的上述两个性质，称为函数的奇偶性。例2 判断下列函数的奇偶性。(1)f(x)x； (2) f(x)x2； (3) f(x)|x1|x1|； (4) f(x)2解：(1)f(x)x的定义域D(，0)(0，)f(x)(x)x(x)f(x)f(x)是奇函数(2) f(x)x2的定义域D(，0)(0，) f(1)0，f(1)2 f(1)f(1)且f(1)f(1)f(x)既不是偶函数，又不是偶函数。(3) f(x)|x1|x1|的定义域D(，)f(x)|x1|x1|x1|
8、x1|f(x)f(x)是奇函数(4) f(x)2的定义域D(，)f(x)2f(x)f(x)是偶函数变式1：f(x)0 既是奇函数，又是偶函数。变式2：f(x)ax2，aR解：(1) 当a0时，f(x)0，x(，)，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。(2) 当a0时，f(x)ax2，x(，)，则f(x)是偶函数。思考1：既是奇函数，又是偶函数的函数有多少个？无数个(表达式唯一即f(x)0，但定义域可以不一样) 。思考2：两个奇函数的和是不是一定是奇函数？不一定。和函数可能不存在；若和函数存在，则一定是。思考3：知道了函数的奇偶性，可以派什么用处？作用一：利用函数的奇偶性可以作函数图像。OxyOx
9、y例3已知函数yf(x)是偶函数，且知道x0时的图像，请作出另一半图像。由偶函数图像关于y轴对称，可以作出函数的另一半图像。作用二：利用函数的奇偶性可以求函数解析式。例4已知函数yf(x)是奇函数，且x0时，f(x)x22，求x0时函数f(x)的解析式。解：x0时，x0 f(x)(x)22x22yf(x)是奇函数 f(x)f(x)即x0时，f(x)f(x)(x22)x22 可以作图进行验证思考：若告诉你f(x)在x0上有定义，能否知道f(0)的值？f(0)f(0) 即f(0)f(0) 2f(0)0 则f(0)0 可以用图进行说明课堂小结：(1) 数学知识：函数的奇偶性概念及其判断。(2) 数学思想方法：归纳推理、数形结合思想。作业：练习册P.33-习题3.4-A组-1、4，一课一练P.70-4、5(1)(4)，P.72-6，P.73-8补充：1、判断函数f(x)kx，kR的奇偶性。2、设yf(x)，xD1为奇函数，yg(x)，xD2为偶函数，D1D2不是空集。求证：F(x)f(x)g(x)为奇函数。(以上均做在作业本上)
