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1、第五章 平面向量5.1 平面向量的概念及线性运算根底自测1.以下等式不正确的选项是 A.a+0=a B.a+b=b+aC.+0 D.=+答案 C2.如以下图，在平行四边形ABCD中，以下结论中错误的选项是 A.= B.=C.= D.=0答案C3.2023广东理，8在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.假设=a,=b,那么等于 A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 答案 B4.2023岳阳模拟假设ABCD是正方形，E是DC边的中点，且=a，=b，那么等于 A.b+aB. b-a C. a+b D. a-b 答案 B5.设四边形ABC
2、D中，有=，且|=|，那么这个四边形是 ( )A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形答案 C例1 给出以下命题向量的长度与向量的长度相等；向量a与向量b平行，那么a与b的方向相同或相反；两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；向量与向量是共线向量，那么点A、B、C、D必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为 A.2B.3C.4D.5答案 C 例2 如以下图，假设四边形ABCD是一个等腰梯形，ABDC，M、N分别是DC、AB的中点，=a，=b，=c，试用a、b、c表示，+.解 =+=-a+b+c，=+，=-,=-,=,
3、=a-b-c.+=+=2=a-2b-c.例3 设两个非零向量a与b不共线，1假设=a+b,=2a+8b,=3(a-b)，求证：A、B、D三点共线；2试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.1证明 =a+b,=2a+8b,=3(a-b),=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线.2解 ka+b与a+kb共线，存在实数，使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.a、b是不共线的两个非零向量，k-=k-1=0，k2-1=0.k=1.例4 12分如以下图，在ABO中，=,=,AD与BC相交于点
4、M，设=a，=b.试用a和b表示向量.解 设=ma+nb，那么=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.=-=-=-a+b.又A、M、D三点共线，与共线.存在实数t,使得=t，即(m-1)a+nb=t(-a+b). 3分(m-1)a+nb=-ta+tb. ，消去t得：m-1=-2n，即m+2n=1. 5分又=-=ma+nb-a=(m-)a+nb.=-=b-a=-a+b.又C、M、B三点共线，与共线. 8分存在实数t1,使得=t1,a b(m-)a+nb=t1,，消去t1得,4m+n=1 10分由得m=,n=,=a+b. 12分1.以下命题中真命题的个数为 假设|a|=|b|，那么a=b或a=-
5、b;假设=，那么A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点；假设a=b,b=c,那么a=c;假设ab,bc,那么ac.A.4B.3C.2D.1答案 D2.在OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使DB=OB.DC与OA交于E，设=a，=b，用a,b表示向量，.解 因为A是BC的中点，所以=(+)，即=2-=2a-b；=-=-=2a-b-b=2a-b.3.假设a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，那么当t为何值时，a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上？解 设=a，=tb，=(a+b)，=-=-a+b，=-=tb-a.要使A、B、C三点共线，只需=即-a+b=b-a
6、有 ， 当t=时，三向量终点在同一直线上.4.如以下图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值.解 方法一 设e1=,e2=,那么=+=-3e2-e1，=+=2e1+e2.因为A、P、M和B、P、N分别共线，所以存在实数、，使=-3e2-e1，=2e1+e2，=-=+2e1+3+e2，另外=+=2e1+3e2，=,=,APPM=41.方法二 设=，=(+)=+，=+.B、P、N三点共线，-=t(-),=(1+t)-t+=1，=，APPM=41.一、选择题1.以下算式中不正确的选项是 A.+=0 B.-= C.0=0 D.(a)=a答案
7、B2.2023全国理,3在ABC中，=c，=b，假设点D满足=2，那么等于 A.b+c B.c-b C.b-c D.b+c 答案 A3.假设=3e1，=-5e1，且|=|，那么四边形ABCD是( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形 D.不等腰梯形答案 C4.如以下图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个局部、不包括边界.假设=a1+b2，且点P落在第局部，那么实数a，b满足 ( )A.a0,b0B.a0,b0C. a0,b0D. a0,b0 答案 B 5.设=x+y，且A、B、C三点共线该直线不过端点O，那么x+y等于 A.1B.-1C.0D.不能确定答案 A6.平面内有一点
8、P及一个ABC，假设+=，那么 A.点P在ABC 外部 B.点P在线段AB上C.点P在线段BC上 D.点P在线段AC上答案 D二、填空题7.在ABC中，=a，=b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，那么可用a、b表示为 .答案 -a+b8.在ABC中，D是AB边上一点，假设=2,=+,那么= .答案 三、解答题9.如以下图，在ABC中，=，DEBC交AC于E，AM是BC边上中线，交DE于N.设=a，=b，用a,b分别表示向量，.解 =b. =-=b-a.由ADEABC，得=(b-a).由AM是ABC的中线，BC，得=(b-a).而且=+=a+=a+(b-a)=(a+b).由
9、=(a+b).10.如以下图，在ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，=，=a，=b.1用a、b表示向量、；2求证：B、E、F三点共线.1解 延长到G，使=，连接BG、CG，得到 ABGC，所以=a+b,=(a+b), =(a+b).=b,=-=(a+b)-a=(b-2a).=-=b-a=(b-2a).(2)证明 由(1)可知=,所以B、E、F三点共线.11.：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：=(+).证明 方法一 如图，E、F分别是AD、BC的中点，+=0，+=0，又+=0，=+ 同理=+ 由+得，2=+=+.=(+).方法二 连结，那么=+，=+，=(+)=(+
10、)=(+).12.点G为ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且=x，=y，求+的值.解 根据题意G为三角形的重心，故=(+)，=-=(+)-x=(-x)+,=-=y-=y-(+)=y-,由于与共线，根据共线向量根本定理知=(-x)+=，=x+y-3xy=0两边同除以xy得+=3.5.2 平面向量的坐标表示及运算根底自测1.平面向量a=1，1，b=(1,-1),那么向量a-b等于 A.(-2,-1)B. (-2,1)C. (-1,0)D. (-1,2)答案 D2.2023安徽理,3在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，假设=(2，4)，=(1，3)，那么等于 A. (
11、-2,-4)B. (-3,-5)C. (3,5) D. (2,4)答案 B3.假设向量a=(1,1)，b=(1,-1),c=(-2,1),那么c等于 A.a+b B. a-bC. a-bD. a+b答案 B4.(2023烟台模拟)向量a=(8,),b=(x,1),其中x0,假设a-2b/(2a+b),那么x的值为 A.4B.8 C.0D.2答案 A5.2023广东五校联考设a=，b=，且ab，那么锐角x为 .A.B. C. D.答案 B例1 设两个非零向量e1和e2不共线.1如果=e1-e2，=3e1+2e2，=-8e1-2e2，求证：A、C、D三点共线；2如果=e1+e2，=2e1-3e2，=2e1-ke2，且A、C、D三点共线，求k的值.1证明 =e1-e2，=3e1+2e2, =-8e1-2e2,=+=4e1+e2=-(-8e1-2e2)=-,与共线，又与有公共点C，A、C、D三点共线.2解 =+=e1+e2+2e1-3e2=3e1-2e2，A、C、D三点
