《补充内容16378.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《补充内容16378.doc（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2014年山东省普通高等教育专升本考试2014年山东专升本秋季强化班核心讲义高职高专类高等数学拓展提高经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013年10月1日星期二曲天尧 编写教学目的：鉴于山东省专升本考试高等数学(经济数学)历年都会出现超纲的内容，所以在专升本考试前夕编写了这一份拓展提高的复习资料，不要求考生在短时间内可以完全掌握，只是大概了解一下即可. 当然，每位考生的情况是不同的，在复习阶段只需要量力而行，基础好的同学可以学学，基础不是很好的同学这部分内容将不作为掌
2、握的重点.内容补充：一、定积分的应用求旋转体的体积：绕轴旋转所得图形的体积（图4.7）图示4.7绕轴旋转所得图形的体积（图4.7）绕轴旋转所得图形的体积（图4.8）绕轴旋转所得图形的体积（图4.8）图示4.8例题1. (2011年会计学专业真题)设S1是由抛物线y=4x2与直线x=a，x=1，y=0所围成的平面图形，S2是由抛物线y=4x2与直线x=a，y=0所围成的平面图形(0a1). 设S1、S2分别绕x轴、y轴旋转面得到的旋转体的体积为V1、V2，则V1+V2最大时a的值为( )A. 1 B. 1/3 C. 1/4 D.1/2例题2. 如图所示，已知函数与所围部分，试求： （1）绕轴旋转
3、所得图形的体积； （2）绕轴旋转所得图形的体积.例题3. 由直线及抛物线围成一个曲边三角形，在曲边上求一点，使曲线在该点处的切线与直线的围成的三角形面积最大.二、三重积分：(一) 三重积分的概念 定义 设f(x, y, z)是空间有界闭区域W上的有界函数. 将W任意分成n个小闭区域 Dv1, Dv2, , Dvn 其中Dvi表示第i个小闭区域, 也表示它的体积. 在每个Dvi上任取一点(xi, hi, zi), 作乘积f(x i, h i, z i)Dvi(i=1, 2, , n)并作和. 如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在
4、闭区域W上的三重积分, 记作. 即 . 三重积分中的有关术语: 积分号, f(x, y, z)被积函数, f(x, y, z)dv被积表达式, dv体积元素, x, y, z积分变量, W积分区域. 在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的平面来划分W, 则Dvi=Dxi DyiDzi , 因此也把体积元素记为dv =dxdydz, 三重积分记作 . 当函数f (x, y, z)在闭区域W上连续时, 极限是存在的, 因此f(x, y, z)在W上的三重积分是存在的, 以后也总假定f(x, y, z)在闭区域W上是连续的. 三重积分的性质: 与二重积分类似. 比如 ; ; , 其中V为区域W的体积
5、. (二) 三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分 三重积分的计算: 三重积分也可化为三次积分来计算. 设空间闭区域W可表为 z1(x, y)zz2(x, y), y1(x)yy2(x), axb, 则 , 即 . 其中D : y1(x) y y2(x), axb. 它是闭区域W在xOy面上的投影区域. 提示: 设空间闭区域W可表为 z1(x, y)zz2(x, y), y1(x)yy2(x), axb, 计算. 基本思想: 对于平面区域D: y1(x)yy2(x), axb内任意一点(x, y), 将f(x, y, z)只看作z的函数, 在区间z1(x, y), z2(x, y)上对z
6、积分, 得到一个二元函数F(x, y), , 然后计算F(x, y)在闭区域D上的二重积分, 这就完成了f(x, y, z)在空间闭区域W上的三重积分. , 则 . 即 . 其中D : y1(x) y y2(x), axb. 它是闭区域W在xOy面上的投影区域. 例题1. 计算三重积分, 其中W为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域. 有时, 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分. 设空间闭区域W=(x, y, z)|(x, y)Dz, c1 zc2, 其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域W所得到的一个平面闭区域, 则有 . 例题2. 计算三重积分,
7、 其中W是由椭球面所围成的空间闭区域. 练习题：1. 将三重积分化为三次积分, 其中(1)W是由曲面z=1-x2-y2, z=0所围成的闭区域. (2)W是双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0, z=0所围成的闭区域. (3)其中W是由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域. 2. 将三重积分化为先进行二重积分再进行定积分的形式, 其中W由曲面z=1-x2-y2, z=0所围成的闭区域. 2. 利用柱面坐标计算三重积分 设M(x, y, z)为空间内一点, 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P(r, q ), 则这样的三个数r、q 、z就叫做点M的柱面坐标, 这里规定r、q
8、、z的变化范围为: 0r+, 0q 2p , -z+. 坐标面r=r0, q =q 0, z=z0的意义: 点M 的直角坐标与柱面坐标的关系: x=rcosq, y=rsinq, z=z . 柱面坐标系中的体积元素: dv=rdrdqdz. 简单来说, dxdy=rdrdq , dxdydz=dxdydz=rdrdq dz. 柱面坐标系中的三重积分: . 例题3. 利用柱面坐标计算三重积分, 其中W是由曲面z=x2+y2与平面z=4所围成的闭区域. 3. 利用球面坐标计算三重积分 设M(x, y, z)为空间内一点, 则点M也可用这样三个有次序的数r、j、q 来确定, 其中r为原点O与点M间的
9、距离, j为与z轴正向所夹的角, q为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角, 这里P为点M在xOy面上的投影, 这样的三个数r、j 、q 叫做点M的球面坐标, 这里r、j、q 的变化范围为 0r+, 0jp, 0q 2p. 坐标面r=r0, j=j0, q=q0的意义: 点的直角坐标与球面坐标的关系: x=rsinjcosq, y=rsinjsinq, z=rcosj . 球面坐标系中的体积元素: dv=r2sinjdrdjdq . 球面坐标系中的三重积分: . 例题4. 求半径为a的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积. 提示: 球面的方程为x2+y2+(z-a)2=a2,
10、 即x2+y2+z2=2az. 在球面坐标下此球面的方程为r2=2arcosj, 即r=2acosj. 三、曲线积分与曲面积分：1. 第一型曲线积分(对弧长的积分)：(1) 曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即 . 其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段. 曲线积分的存在性: 当f(x, y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分是存在的. 以后我们总假定f(x, y)在L上是连续的. 根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值, 其中m(x, y)为线密度. 对弧长的曲线积分的推广: . 如果L(或G)是分段光滑的, 则规定函数在L(或G)上的曲线积分等于
11、函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2, 则规定 . 闭曲线积分: 如果L是闭曲线, 那么函数f(x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 . 对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c1、c2为常数, 则 ; 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2, 则 ; 性质3设在L上f(x, y)g(x, y), 则 . 特别地, 有 (2)第一型曲线积分的计算：根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L的线密度为f(x, y), 则曲线形构件L的质量为 . 另一方面, 若曲线L的参数方程为x=j(t), y=y (t) (atb),则质量元素为 ,
12、曲线的质量为 . 即 . 定理 设f(x, y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 x=j(t), y=y(t) (atb), 其中j(t)、y(t)在a, b上具有一阶连续导数, 且j2(t)+y2(t)0, 则曲线积分存在, 且 (ab). 证明（略） 应注意的问题: 定积分的下限a一定要小于上限b. 讨论: (1)若曲线L的方程为y=y(x)(axb), 则=?提示: L的参数方程为x=x, y=y(x)(axb), . (2)若曲线L的方程为x=j(y)(cyd), 则=?提示: L的参数方程为x=j(y), y=y(cyd), . (3)若曲G的方程为x=j(t), y=y(t), z=w(t)(atb), 则=? 提示: . 例题1. 计算, 其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧. 例题2 计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为m=1). 例题3. 计算曲线积分, 其中G为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到达2p的一段弧. 小结：用曲线积分解决问题的步骤: (1)建立曲线积分; (2)写出曲线的参数方程
