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1、第三课时利用导数研究函数的极值和最值课时作业题号123456答案1(2009年株洲质检)已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如下，则()A函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点2(2010年金山中学月考)已知二次函数f(x)ax2bxc的导数为f(x)，f(0)0，对于任意实数x都有f(x)0，则的最小值为()A3B.C2 D.3.(2008年福建卷)如果函数yf(x)的图象如右图，那么导函数yf(x)的图象可能是()4.(2008年韶关调研)已知函数f(x)的
2、定义域为2,4，且f(4)f(2)1，f(x)为f(x)的导函数，函数yf(x)的图象如右图所示则平面区域 所围成的面积是()A2 B4C5 D8 5(2009年广东实验中学月考)函数f(x)12xx3在区间3,3上的最小值是_6(文科)(2009年厦门北师大海沧附中)已知函数f(x)x33ax2bx，其中a，b为实数(1)若f(x)在x1处取得的极值为2，求a，b的值；(2)若f(x)在区间1,2上为减函数，且b9a，求a的取值范围7(理科)设函数f(x)ln(2x3)x2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间的最大值和最小值7(2009年大同中学检测)设函数f(x)x32ax
3、23a2x1,0a1.(1)求函数f(x)的极大值；(2)若x1a,1a时，恒有af(x)a成立(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，试确定实数a的取值范围8(文科)(2009年湖南卷)已知函数f(x)x3bx2cx的导函数的图象关于直线x2对称(1)求b的值；(2)若f(x)在xt处取得最小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域10(理科)(2009年福建卷)已知函数f(x)x3ax2bx，且f(1)0.(1) 试用含a的代数式表示b，并求f(x)的单调区间；(2)令a1，设函数f(x)在x1，x2(x1x2)处取得极值，记点M (x1，f(x1)，N(x2，f(x2)，P(m
4、，f(m)，x1mx2，请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：()若对任意的t(x1，x2)，线段MP与曲线f(x)均有异于M，P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；()若存在点Q(n，f(n)，xnm，使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程)参考答案1A2.C3.A4.B5.166(1)a，b5(2)a17解析：f(x)的定义域为.(1)f(x)2x.当x0；当1x时，f(x)时，f(x)0.从而，f(x)分别在区间，上单调递增，在区间上单调递减(2)由(1)知f(x)在区间的最小值为fln 2
5、.又fflnlnln1时，12a1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，12a)(12a，1)(1，)f(x)f(x)单调递增单调递减单调递增由此得，函数f(x)的单调增区间为(，12a)和(1，)，单调减区间为(12a，1)当a1时，12a1，此时有f(x)0恒成立，且仅在x1处f(x)0，故函数f(x)的单调增区间为R.当a1时，12a1，同理可得，函数f(x)的单调增区间为(，1)和(12a，)，单调减区间为(1，12a)综上：当a1时，函数f(x)的单调增区间为(，12a)和(1，)，单调减区间为(12a，1)；当a1时，函数f(x)的单调增区间为R；当a1时，函数f
6、(x)的单调增区间为(，1)和(12a，)，单调减区间为(1,12a)(2)()由a1得f(x)x3x23x令f(x)x22x30得x11，x23.由(1)得f(x)增区间为(，1)和(3，)，单调减区间为(1,3)，所以函数f(x)在处x11，x23处取得极值，故M，N(3，9)观察f(x)的图象，有如下现象：当m从1(不含1)变化到3时，线段MP的斜率与曲线f(x)在点P处切线的斜率f(x)之差Kmpf(m)的值由正连续变为负线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmpf(m)的m正负有着密切的关联；Kmpf(m)0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmpf(m)的m就是所求的t最小值
7、，下面给出证明并确定的t最小值曲线f(x)在点P(m，f(m)处的切线斜率f(m)m22m3；线段MP的斜率Kmp，当Kmpf(m)0时，解得m1或m2，直线MP的方程为y，令g(x)f(x)，当m2时，g(x)x22x在(1,2)上只有一个零点x0，可判断f(x)函数在(1,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，又g(1)g(2)0，所以g(x)在(1,2)上没有零点，即线段MP与曲线f(x)没有异于M，P的公共点当m(2,3时，g(0)0，g(2)(m2)20，所以存在(0,2使得g()0，即当m(2,3时，MP与曲线f(x)有异于M，P的公共点综上，t的最小值为2.()类似(1)于中的
8、观察，可得m的取值范围为(1,3解法二：(1)同解法一(2)()由a1得f(x)x3x23x，令f(x)x22x30，得x11，x23.由(1)得的f(x)单调增区间为(，1)和(3，)，单调减区间为(1,3)，所以函数在处取得极值故M，N(3，9)直线MP的方程为yx.由得x33x2(m24m4)xm24m0.线段MP与曲线f(x)有异于M，P的公共点等价于上述方程在(1，m)上有根，即函数g(x)x33x2(m24m4)xm24m在(1，m)上有零点因为函数g(x)为三次函数，所以g(x)至多有三个零点，两个极值点又g(1)g(m)0.因此，g(x)在(1，m)上有零点等价于g(x)在(1，m)内恰有一个极大值点和一个极小值点，即g(x)3x26x(m24m4)0在(1，m)内有两不相等的实数根等价于即又因为1m3，所以m的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的t的最小值为2.()同解法一
