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1、第五讲K字型全等和母子型 模块一 K字型全等 模块二 母子型区记笔第五讲 K字型全等和母子型模块一 K字型全等如图，且，则有模块二 母子型1等边三角形2正方形（等腰直角三角形）模块一K字型全等例题1（1516年成华期末）在中，直线l经过点C，且于点D，于点E（1）当直线l绕点C旋转到图1-1位置时，求证：，；（2）当直线l绕点C旋转到图1-2位置时，求证：；（3）当直线l绕点C旋转到图1-3位置时，请直接写出线段AD、BE、DE之间满足的等量关系 图1-1 图1-2 图1-3【解析】 （1），（2），（3）【教师备课提示】这道题主要让孩子们熟悉模型并熟练过程例题2（1516年嘉祥期末）如图，在
2、正方形ABCD中，E为CD上一点，AE交BD于F，过F作交BC于H，连接AH（1）过点F分别作AB、BC的垂线，垂足分别为M、N，求证：； （2）过点H作，垂足为G，试求FG和BD的数量关系【解析】 （1）证明，（2）作于点T，则，例题3（嘉祥）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，EG与HA的延长线交于点M，求证：AM是的中线【解析】 过点E作的延长线于P，过点G作于Q，在和中，同理可得，在和中，是的中线【教师备课提示】例题2和例题3主要讲解构造K字型全等，让孩子们熟悉模型例题4如图，CD是经过顶点C的一条直线，E、F分别是直线CD
3、上两点，且（1）若直线CD经过的内部，且E、F在直线CD上，请解决下面两个问题：如图4-1，若，则BE_CF；EF_（填“”、“”、“=”）；如图4-2，若，请添加一个关于与关系的条件_，使中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论（2）如图4-3，若直线CD经过的外部，请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）图4-1 图4-2 图4-3【解析】 （1）=；=；，先证明，再证明（2）【教师备课提示】这道题主要讲解K字型全等的变式题模块二母子型例题5如图，点C为线段AB上一点，、是等边三角形请你证明：（1）；（2）；（3）；（4）为等边三角形；（5）【解析】 （1）、是等边三角
4、形，又，（2）由（1）得，（3）过点C作AF和BF的垂线，利用角平分线的判定，即可（4）由易推得，所以，又，进而可得为等边三角形（5）由（4）得，为等边三角形，【教师备课提示】这道题主要考查等边三角形的母子型例题6（1415年成外）已知，在中，（1）如图6-1，若EC，DB分别平分、，交AD，AE于点C、B，连接BC请判断AB、AC是否相等，并说明理由；（2）的位置保持不变，将（1）中的绕点A逆时针旋转至图6-2的位置，线段CD和BE相交于O，请判断线段BE与CD的位置关系与数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若，试求四边形CEDB的面积 图6-1 图6-2【解析】 （1），在和中(
5、ASA)，（2），且母子型，得到，通过倒边倒角得到，且（3）18（提示：对角线互相垂直的四边形的面积可以为对角线乘积的一半）【教师备课提示】这道题主要考查等腰直角三角形的母子型例题7如图7-1，若四边形ABCD、GFED都是正方形，显然图中有，（1）当正方形GFED绕D旋转到如图7-2的位置时，是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（2）当正方形GFED绕D旋转到B、D、G在一条直线（如图7-3）上时，连接CE，设CE分别交AG、AD于P、H，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 图7-1 图7-2 图7-3【解析】 （1），成立四边形ABCD、四边形
6、DEFG是正方形，延长CE交AG于点T，则，又，即（2）同（1）可得，即【教师备课提示】这道题主要考查正方形的母子型，在正方形母子型当中最重要的就是垂直相等结论例题8（15年西川半期）如图8-1，在和中，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD，点M，N分别为BE，CD的中点（1）求证：；（2）求证：是等腰三角形；（3）在图8-1的基础上，将绕点A按顺时针方向旋转，使D点落在线段AB上，其他条件不变，得到图8-2所示的图形，（1）（2）中的两个结论是否仍然成立？请你直接写出你的结论 图8-1 图8-2【解析】 （1），在和中，(SAS)（2）由（1）得，(SAS)，即又点M，N分别为BE，C
7、D的中点，在和中，(SAS)是等腰三角形（3）仍成立，有，是等腰三角形（同理可得）【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的母子型，看看孩子们是否理解母子型全等的本质复习巩固模块一K字型全等演练1在中，直线l经过点A.（1）如图1-1，垂足分别为D、E探究BD、CE、DE三者之间的数量关系，直接写出你的结论（2）如图1-2，将（1）中“，”改为“”，探究BD、CE、DE三者之间的数量关系，证明你的结论图1-1图1-2【解析】 （1）；（2），证明即可演练2如图，在中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且，图中是否存在和全等的三角形？说明理由【解析】 ，理由如下：，又，模块二母子型演练3如
8、图，B、C、E三点在一条直线上，和都为等边三角形，连接AE、DB（1）试说出的理由（2）如果把绕C点顺时针旋转一个角度，使B、C、E不在一条直线上，（1）中的结论还成立吗？（只回答，不说理由）（3）在（2）中若AE、BD相交于P，求的度数【解析】 （1）、都为等边三角形，即，在与中： ，；（2）仍然成立；（3），是等边三角形，即演练4以点A为顶点作两个等腰直角三角形（，），如图4-1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE（1）说明；（2）延长BD，交CE于点F，求的度数；（3）若如图4-2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由图4-1 图4-2【解析】 （1）、是等腰直角三角形，在和中，；（2），而在中，又，；（3）成立，且两线段所在直线互相垂直，即理由如下：、是等腰直角三角形，在和中，演练5如图5-1，等边中，D是AB上一点，以CD为边向上作等边，连接AE（1）求证：AE/BC；（2）如图5-2，若点D在AB的延长线上，其余条件均不变，（1）中结论是否成立？请说明理由图5-1 图5-2【解析】 （1），即，和是等边三角形，在与中，AE/BC；（2）成立，证明如下：同（1）可得，AE/BC演练6如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG求证：（1）；（2）【解析】 ，在和中，设AE分别与DG、CG交于M、N则，51让学习更有效！
