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1、数的开方复习课教学目标1.使学生进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义；2.理解无理数和实数的意义；3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根；4.会对实数分类以及进行实数的近似计算.教学重点和难点重点：平方根、算术平方根、实数的概念及其计算.难点：算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用.教学过程设计一、复习基本概念1.什么叫一个数a的平方根，怎样表示?什么叫数a的算术平方根?怎样表示?其中a可以分别表示什么数?2.什么叫一个数a的立方根?怎样表示?其中a可以表示什么数?3.任何实数都有平方根吗?都有立方根吗?4.什么叫无理数?什么叫实数?实数与数轴的点有什
2、么关系?答：1.如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，表示为a数.的非负的平方根叫做算术平方根，表示为a，其中a0.2.如果一人数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，表示为3a，其中a为任意实数.3.正数和0有平方根，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，任何实数都有一个立方根.4.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.实数与数轴上的点一一对应.二、例题例1 a为何值时，下列各式有意义?(1)a2；(2)a；(3)a+2；(4)3 a1；(5)a+a；(6)3 2a+1 a.要判断a为何值时各式有意义，首先要弄清各式都表示什么，成立的条件是
3、什么.(1)，(2)，(3)式都表示算术平方根，(5)为两个算术平方根的和，各式被开方数都应为非负数，(4)，(6)式都表示立方根.任何实数都可以进行立方运算，但应注意，当被开方数是分数时，分数的分母不能为0.解 (1)因为a为任何实数时，a20，所以a为任意实数时，a2有意义.(2)因为要使a有意义，必须使a0，即a0，所以当a0时，a有意义.(3)因为要使a+2有意义，必须a+20，即a2，所以当a2时，a+2有意义.(4)因为3 a1有意义，a1可取任意实数，即a为任意实数，所以当a为任意实数时3a1的意义.(5)因为要使a有意义，必须使a0；要使a有意义，必须使a0，即a0，所以要使a
4、+-a有意义，a必须等于0.因此仅当a=0时，a+-a有意义.(6)因为2a+1a是分式，当a0时有意义，所以当a0时，3 2a+1a有意义.例2 计算：(1)求5的算术平方根与2的平方根之和；(保留三位有效数字)(2)255+2；(精确到0.01)(3)a+2a(2a).(精确到0.001)上列各题是进行实数运算.问：计算各式的思路和方法是什么?答：根据各题的要求分别取其近似值，转化为有理数进行计算.含有绝对值的式子应先根据实数绝对值的意义，去掉绝对值的符号，再进行计算.解 (1)因为5的算术平方根为5，2的平方根是2.所以5的算术平方根与2的平方根之和为52.又因为52.236，21.41
5、4，所以5+22.236+1.414=3.65，522.2361.4140.82.(2)因为25所以25=(52).所以255+2=5252 =2221.4142.83.(3)因为2a，所以a=(a)=a,2a=(2a)=2+a.因此 a+2a=a2+a=23.1421.414=1.73.指出：1.例2中的有关运算实际是进行实数运算，有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍然成立.2.无理数的运算，可以转化为用相应的(或题目指定)近似有限小数进行，有的题目可根据问题的要求取其近似值，转化成有理数进行运算.例3 (1)如图，已知正方形ABCD的面积是4a2，E，F，G，H分别为正方形四条边的中点
6、，依次连结E，F，G，H得到一个正方形.求这个正方形的边长(用带根号的数表示).(2)当a=4时，正方形EFGH的边长是多少?(精确到0.01).分析：求正方形EFGH的边长，首先应求出正方形ABCD的边长.由于正方形的面积等于它的一边的平方，所以它的一条边是面积的算术平方根.已知E，F，G，H是正方形ABCD的各边的中点，所以BF=BE,再在直角三角形EBF中，用勾股弦定理可求出EF的长. 解 (1)在正方形ABCD中， AB=BC=CD=DA,A=B=C=D=90.因为正方形ABCD的面积=AB2抽以AB2=4a2. 因为4a20,a0，所以AB=4a2=2a.同理，BC=2a.因为E是A
7、B中点，F是B中点，所以BE=12AB=a，BF=12BC=a.在RtEBF中，EF2=BE2+BF2=a2+a2=2a2,所以EF=2a2=2a(a0).(2)当a=4时，EF=4241.414=5.66.三、课堂练习1.判断下列说法是否正确?并说明理由.(1)1的立方根是1.()(2)1的立方是1.()(3)1的平方是1. ()(4)1的平方根是1.()(5)1是1的一个平方根.()(6)无理数是开方开不尽的数.()(7)9=3.()(8)实数都有平方根.()(9)实数都有立方根.()(10)若x=x，则x=1.()(11)若3x=x，则x=1.()(12)实数m的倒数是1m。()(13)
8、3.1415926可以用分数表示.()(14)有理数与数轴上的点一一对应.()(15)a2的算术平方根是a.()(16)若x=(y)2，则x=y.()(17)x为任何实数，x表示x的算术平方根.(18)x为任何实数，3x都有意义.2.选择题：(1)对实数进行分类，不正确的是()A.实数 有理数 无理数B.实数有限小数 无限循环小数 无限不循环不数 C.实数 小数 分数D.实数正实数 0 负实数(2)121的平方根是()A.11B.1C.11D.1(3)下列等式正确的是().A.9=3B.9=3C.3 27=3D.3 64=4(4)下列说法错误的是().A.3是无理数B.3是3的算术平方根C.3
9、等于1.732 D.3是实数(5)下列各式中无意义的是()A.3B.(3)2C.32D.32(6)下列判断中，错误的是()A.两个实数之间有无数个实数B.两个有理数之间有无数个有理数C.两个无理数之间有无数个无理数D.两个整数之间有无数个整数3.填空：(1)25 36的平方根是，算术平方根是 .(2)5的立方根是 ，5是 的立方根.(3)若x=6 则x .(4)若3x=0.2，则x .(5) 的平方根等于它的立方根.(6)3-2的相反数是 ，绝对值是 .(7)负数a和它的相反数的差绝对值等于 .(8)把下列各数分别填在相应的括号内：0.32，5，233，3，16，3 9，0.1215926，5
10、12，0，8，0.46.整数() ，分数()，有理数()，无理数()，实数().4.已知实数a，b，c在数轴上的位置，如图所示且cab，化简aa+b+(ca)2c2. 缺图5.(1)已知3 0.8452=0.9452，求3 845200的值.(2)已知3 56.771=3.842，求3 0.056771的值.四、小结1.在解答有关被开方数是字母的式子是否有意义的问题，要根据所涉及的概念的意义去考虑，如例1中的(1)，(2)，(3)，(5)各式都表示算术平方根，因此被开方数必须是非负数，从这个意义去考虑使式子有意义的字母的取值范围.2.在进行实数运算时，可根据各题的要求分别取无理数的近似值，转化
11、成有理数进行计算.对于含绝对值的式子，应先根据实数的绝对值的意义，去掉绝对值的符号再进行计算，有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然成立.3.在代数中解答几何题，是代数和几何的综合，是数和形的结合，在解答过程中一定要结合图形的几何性质，把论证和计算结合起来.五、作业1.判断下列说法是否正确，并说明现由.(1)=3.14；()(2)无理数包括正无理数、负无理数和零；()(3)无限小数是无理数；()(4)25的平方根是5；()(5)实数与数轴的点一一对应；()(6)若3x3=3y3，侧 x=y；()(7)若x2=y2,则x=y.()2.填空：(1)任何正数的两个平方根的和等于；(2)无理数是 小
12、数；(3)3.14= ； (4)3+2的相反数是 ；(5)若m2=9，则 m= ；(6)若a2=3，则a= ；(7)若3a=2,则a= ；(8)若3a2=3(4)2，则a= .3.解下列各题：(1)分别求出下列各式的平方根和算术平方根：64，0.25，5，(3)2，(25)2，(413)2.(2)求出下列各数的立方根：27，0.125，9，(6)3，(23)3，(45)3(3)求下列各数的绝对值： 25，3 7，57，21.6.(4)如果3.2=1.789,32=5.567,3 3.2=1.474,3 32=3.175.试求0.032的平方根、算术平方根及立方根.4.求下列各式中的x：(1)x2=169; (2)121x225=0;(3)9x2=64;(4)x21.69=0;(5)x3=64000;(6)x3=0.125.5.比较下列各组内两个实数的大小：(1)1.574，1.5；(2)5，2.24；(3)，3.1415926；(4)29，5413.6.计算：(精确到0.01)(1)+1013+0.145；(2)5
