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1、(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理解析正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形。正余弦定理及三角形面积公式教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形。知识点清单一. 正弦定理:1。正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 （其中R是三角形外接圆的半径）2。变形：1） 2）化边为角：； 3）化边为角： 4）化角为边： 5）化角为边: 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 已知两个角及任意边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a, 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理 求
2、出b与c 已知两边和其中边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理求出角B,由A+B+C=180o 求出角C，再使用正弦定理求出c边Ab4。ABC中，已知锐角A，边b,则时，B无解；或时,B有一个解；时，B有两个解。如：已知，求（有一个解）已知,求(有两个解）注意：由正弦定理求角时,注意解的个数.二.三角形面积1。2. ,其中是三角形内切圆半径。3。 , 其中,4。 ,R为外接圆半径5.，R为外接圆半径三。余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即 2。变形： 注意整体代入，如：3 利用余弦定理判断三
3、角形形状：设、是的角、的对边，则：若,所以为锐角若若， 所以为钝角，则是钝角三角形4. 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：1） 已知三边，求三个角2） 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角考点解析题型1 正弦定理解三角形例题1 在ABC中，已知A=60,a=2，C=45,则C=例题2 在ABC中，A=，AC=2,BC=，则AB=变式训练1、 在ABC中，a，b,B45.求角A、C和边c2、 在ABC中,(1) 若a4，B30，C105，则b_(2） 若b3，c，C45，则a_（3) 若AB，BC，C30，则A_3、在ABC中，若A=60，BC=4，AC=4，则角B的大小为（）A3
4、0B45C135D45或1354、在ABC中,若b=2asinB，则A等于（）A30或60B45或60C120或60D30或1505、在ABC中，已知sinA:sinB：sinC=5：7：8，则B的大小为（)ABCD6、在ABC中,A：B：C=1：2:3,则a:b：c等于题型2 余弦定理解三角形例题1 在ABC中，a=1，b=，c=2，则B=例题2 已知ABC中，AB=3，AC=5，A=120，则BC等于变式训练1、 在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.求角B的大小2、在ABC中，有下列结论：若a2b2+c2，则ABC为钝角三角形若a2=b2+c2+bc,则A为60若a2+b2
5、c2，则ABC为锐角三角形若A：B：C=1：2:3，则a:b:c=1:2：3其中正确的个数为（）A2B3C1D4在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，则C=()ABCD题型3 正弦余弦定理求三角形面积例题1、在ABC中，若B=60，AB=2，AC=2,则ABC的面积（）AB2CD例题2、ABC中,B=120，AC=7，AB=5,则ABC的面积为 变式训练1、已知ABC中,B=45，AC=4，则ABC面积的最大值为在ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c，若A=60，a=，b+c=3，则ABC的面积为（）ABCD2题型4 三角形形状的判断例题1 在ABC中，a、b、c满足a
6、2+b2+c2=ab+bc+ac，则ABC一定是（)A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形例题2 在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且bcosB是acosC、ccosA的等差中项（1） 求B的大小；(2) 若ac，b2，求ABC的面积变式训练1、在ABC中，a，b,c分别是A,B，C的对边，若a2+b2c2，则ABC是（)A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形或钝角三角形2、已知a、b、c分别为ABC三个内角A、B、C的对边，acosCasinCbc0.（1) 求A；(2） 若a2，ABC的面积为，求b、c.课后作业1、设ABC的内角A、B、C所对边的长分别为
7、a、b、c,若bc2a，3sinA5sinB，则角C_2、A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2，B，C,则ABC的面积为_3、已知ABC中,B45，AC4，则ABC面积的最大值为_4、在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且c3bcosA，tanC.（1) 求tanB的值；（2) 若c2，求ABC的面积5、在ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosCcb。(1） 求角A的大小;（2） 若a，b4，求边c的大小6、在ABC中，A、B、C所对的边长分别是a、b、c.（1) 若c2,C，且ABC的面积为，求a、b的值；（2） 若sinCsin(BA）sin2A，试判断ABC的形状解题技巧1. （1) 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可（2) 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点,应引起注意2。 （1） 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键(2) 熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用3。 在已知关系式中,若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求解
