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1、明目标、知要点1直观认识并掌握微积分基本定理的含义2会利用微积分基本定理求函数的积分1微积分基本定理假如f(x)是区间a，b上的连续函数，而且F(x)f(x)，那么?abf(x)dxF(b)F(a)2定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则?abf(x)dxS上(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)b，则?af(x)dxS下(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图b(3)，则?af(x)dxS上S下，若S上S下，则?baf(x)dx0.情境导学以前面的学习中能够发现，固然被积函
2、数f(x)x3特别简单，但直接用定积分的定义计算?10x3dx的值却比较麻烦有没有更为简易、有效的方法求定积分呢？此外，我们已经学习了两个重要的观点导数和定积分，这两个观点之间有没有内在的联系呢？我们可否利用这类联系求定积分呢？研究点一微积分基本定理问题你能用定义计算?121dx吗？有没有更为简易、有效的方法求定积分呢？x思虑1以以下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是yy(t)，而且y(t)有连续的导数，由导数的观点可知，它在随意时刻t的速度v(t)y(t)设这个物体在时间段a，b内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答由物体的运动规律是yy(t)知：sy(b)y(a)，经
3、过求定积分的几何意义，可得s?bbaay(t)dt，v(t)dt?所以?bbaay(t)dty(b)y(a)此中v(t)y(t)v(t)dt?小结(1)一般地，假如f(x)是区间a，b上的连续函数，而且F(x)f(x)，那么?abf(x)dxF(b)F(a)这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式(2)运用微积分基本定理求定积分?baf(x)dx很方便，其要点是正确写出知足F(x)f(x)的F(x)思虑2对一个连续函数f(x)来说，能否存在独一的F(x)，使F(x)f(x)？若不独一，会影响微积分基本定理的独一性吗？答不独一，依据导数的性质，若F(x)f(x)，则对随意实数c，F(x
4、)cF(x)cf(x)不影响，因为?baf(x)dxF(b)cF(a)cF(b)F(a)例1计算以下定积分：(1)?211xdx；(2)?311(2xx2)dx；(3)?0x(cosxe)dx.解 (1)因为(lnx)1，x212所以?1xdxlnx|1ln2ln1ln2.211(2)因为(x)2x，(x)x2，31331所以?1(2x2)dx?12xdx?12dxxx2313x|1|1x1 22 (91)(31)3.(3)?0x0cosxdx?0x(cosxe)dx?edx0x01sinx|e|e1.反省与感悟求简单的定积分要点注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法例，正确求解被
5、积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适合变形后再求解；(2)精准定位积分区间，分清积分下限与积分上限22追踪训练1若S1?1xdx，S2?AS1S2S3CS2S3S1212x1xdx，S3?1edx，则S1，S2，S3的大小关系为()BS2S1S3DS3S2S1答案B分析S1?21x2dx1x3|217，33S2?S3?212，1xdxlnx|1ln23.所以S2S10，1求?1f(x)dx.1解?1f(x)dx?0211xdx?0(cosx1)dx130123x|1(sinxx)|0sin1.3研究点三定积分的应用例3计算以下定积分：?220sinxdx，?sinxdx，?0sin
6、xdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论解因为(cosx)sinx，所以?0sinxdx(cosx)|0 (cos)(cos0)2；22?sinxdx(cosx)| (cos2)(cos)2；?220sinxdx(cosx)|0 (cos2)(cos0)0.反省与感悟能够发现，定积分的值可能取正当也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x轴上方曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积追踪训练35，y0
7、所围图形的面积(以下图)求曲线ysinx与直线x，x24解所求面积为5S4|sinx|dx2205sinxdx?0sinxdx4sinxdx22 2 12(12)42.12(1cosx)dx等于()2AB2C2D2答案D分析(xsinx)1cosx， 2(1cosx)dx(xsinx)|2222.sinsin2222a12若?1(2xx)dx3ln2，则a的值是()A5B4C3D2答案D分析?a1aa1dx1(2x)dx?12xdx?1xxx2|a1lnx|a1a21lna3ln2，解得3?答案分析a2.2220(x3x)dx_.4322222?0(xx)dx?0xdx?32203xdx3 2 x|20x|20844.333334x2，0x，4已知f(x)2，计算?0f(x)dx.cosx，2x解f(x)dx?0f(x)dx02f(x)dx202(4x2)dxcosxdx，22取F1(x)2x2x，则F1(x)4x2；取F2(x)sinx，则F2(x)cosx.所以02(4x2)dxcosxdx(2x22x)|022sinx|12121，即?0f(x)dx21.22呈要点、现规律1求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)若被积函数是分段函数，依照定积分“对区间的可加性”，分段积分再乞降
