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1、第二章 数 列 2.1数列的概念与简单的表示法 一、知识要点梳理知识点一：数列的概念按一定顺序排列的一列数，如1，1，2，3，5，an，可简记为an。注意：数列可以看作是定义在N*或其子集1，2，3，n上的函数，与以前常见函数的不同主要在于：(1)定义域是离散的因而其图象也是离散的单点集；(2)有序。知识点二：数列的表示(1)列举法：如-2，-5，-8，(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。(3)解析式法：类似于函数的解析法，数列的解析法就是给出了数列的通项公 式an=f(n)，nN*。(4)递推：利用数列的第n项与它前面若干项的关系及初始值确定。如an=an-1+an-2(n3)，且a
2、1=1，a2=1. 注意： 并不是每个数列都能写出它的数列通项公式；数列的通项如果存在，也不 一定唯一。 数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。 利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。 知识点三：数列的分类（1）按项数：有限数列和无限数列；（2）按单调性：常数列、摆动数列、单调数列(递增数列、递减数列)。递增数列:对于任何,均有.递减数列:对于任何,均有.摆动数列:例如: 常数数列:例如:6,6,6,6,.知识点四：数列的通项公式与前项和公式 任意数列的前n项和， 于是， 所以有：注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行： （1）求；（2）求出当n2时的；（3
3、）如果令n2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。 2.2等差数列及其前n项和一、知识要点梳理 知识点一 等差数列的概念（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差.（2）等差中项：如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.即：是与的等差中项，成等差数列.知识点二 等差数列的通项公式通项公式：，为首项，为公差.知识点三 等差数列的前n项和公式：=（常数项为0的二次式）知识点四 等差数列的常用性质（1）若，那么特殊地，若，则.（2）；(,是常数)；(,是常数，)(3)若等差数
4、列,则 仍成等差（4）等差数列中，求使前n项和最大(小)的项数的方法：递减数列，求最大，令，求正数项；递增数列，求最小，令，求负数项.当然，解决此类型题目还可以利用二次函数的性质，但解一次不等式的方法还是最快的方法.知识点五 等差数列的判定方法定义法：（，是常数）是等差数列；中项法：()是等差数列. 2.3等比数列及前n项和一、知识要点梳理1 、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示注意:（1）q是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错。（2）由定义可知，等比数列的任意 一项都不
5、为0，因而公比q也不为0. （3）公比q可为正数、负数，特别当q=1时，为常数列a1,a1,； q=1时，数列为a1,a1,a1,a1,. 2、等比数列的通项公式 ： 3、等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即G 2= a b 4、等比数列的判定方法（1）、an=an1q（n2），q是不为零的常数，an10an是等比数列.（2）、an2=an1an1（n2, an1,an,an10）an是等比数列.（3）、an=cqn（c，q均是不为零的常数）an是等比数列.（4）、若某数列前n项和公式为Sn=an1(a0,1)，则an成等比数列.5、等比
6、数列的性质 :设an为等比数列，首项为a1，公比为q.（1）an=a1qnm（m、nN*）. （2）、当mn=pq（m、n、q、pN*）时，有aman=apaq. 特殊地，若，则（3） 等比数列 ： 仍成等比数列 （q1或k为奇数）6、等比数列的前n项和公式 2.4 数列的通项公式及求和一数列通项公式的求法（一）、观察法数列从定义角度看，是按一定顺序排列的一列数，因而它不是杂乱无章的，它是有规律可循的。所以，我们可以根据数列的前几项，观察每一项与项数的关系，从而写出数列的同项公式。例：根据数列前四项，写出它的一个通项公式(1) (2)7，77，777，7777，(3) ， (4)，解：(1)
7、(2) (3) ( 4) 关键：把握第n项与的关系，把每一项用项数表示。（二）、公式法（也称待定系数法）若数列为特殊数列如是等差数列或等比数列，只需求出与d或与q，可直接写出通项公式。例：已知等差数列中，求通项公式已知等比数列中，求通项公式解：设，从而可解。 可设 q=1(舍去)关键：设出通项公式，解方程即得（三）、构造法原数列不是等差或等比数列，但对已知的等式进行适当变形，可得新数列为等差或等比数列，从而求出通项公式。例1、数列中，求点拨，可用倒数变换，将其转化为等差或等比数列。解：取倒数得：，令，则，例2、已知数列，求点拨：用配凑法，配凑常数“”，使构成等比数列，从而，从而求出。解：，则令
8、，为等比数列，从而关键：通过变换地推关系，将非等差或等比数列转化为与等差等比数列有关的数列，从而求得通项公式的方法是由递推公式求通项公式的常用方法。常用转化过程有：配凑、消项变换、倒数变换、取对数变换、换元变换等。练习：1.已知数列中，求 2. 已知数列中，求。（四）、叠加法例：已知求，求解：当时，可得n-1个等式。共有n-1个等式，将其相加，得，关键：对形如的递推公式求通项公式，只要可求和，便可利用累加的方法。练习：已知数列中，求数列的通项公式。（五）、叠乘法例：已知，求解：，得，当时，可得n-1个等式：，左边相乘，右边相乘关键：对于形如的递推公式，只要可求积，便可利用累乘的方法。练习：已知
9、数列中，求（六）、含与类型例1数列的前n项和，求通项公式。分析：由已知条件，可知与的关系，可借助于，可将条件转化为关于的递推公式，进而求出数列的通项公式。解：，即， ；又n=1时适合上式，则关键：若和在一个等式中，一般可利用与关系，构造关于或的递推公式，再进一步确定或。练习：已知数列中，且，求二、数列的求和方法（一）、 公式法： 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：3、 4、5、例1 已知，求的前n项和.解：由 由等比数列求和公式得 （利用常用公式） 1 例2 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差数列求和公
10、式得 ， （利用常用公式） 当 ，即n8时，（二）、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和：。解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积。 得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 例4 求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 （设制错位） 得 练习：求：Sn=1+5x+9x2+(4n-3)xn-1 （三）、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把
11、它与原数列相加，就可以得到n个.例5 求证：证明： 设. 把式右边倒转过来得 （反序） 又由可得 +得 （反序相加） 例6 求的值解：设. 将式右边反序得 （反序） 又因为 +得 （反序相加） 89 S44.5练习：已知lg(xy)=a，求S，其中解: 将和式S中各项反序排列，得 将此和式与原和式两边对应相加，得 2S=+ + (n+1)项 =n(n+1)lg(xy) lg(xy)=a S=n(n+1)a（四）、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例7 求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得 （分组）当a1时， （分组求和）当时，例8 求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设将其每一项拆开再重新组合得 （分组） （分组求和） 练习：求数列的前n项和。解： (五)、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）（5） 例9 求数列的前n项和.解：设 （裂项） （裂项求和） 例10 在数列an中，又，求数列bn的前n项
