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1、3.5控制系统的稳态误差3.5控制系统的稳态误差描述控制系统的微分方程Q-n-2 + & n. - 17 + - + -5-1- + &|得=D皿+ 十血z- + tnZ胪新一1戒汕盘(3.73)式(3.73)是一个高阶微分方程，方程的解可以表示为灾)=一加M .sin(3.74)式中，前两项是方程的通解，而/是方程的一个特解。随时间的增大，方程 的通解逐渐减小，方程的解y(t)越来越接近特解/们。当try时，方程的通 解趋于零这时系统进入了稳定状态。特解是由输入量确定的，反映了控制的目标和要 求。系统进入稳态后，能否达到预期的控制目的，能否满足必要的控制精度，要 解决这个问题，就必须对系统的
2、稳态特性进行分析。稳态特性的性能指标就是稳 态误差。3.5.1稳态误差控制系统的误差可以表示为曲-呃)(3.75)式中外是被控制变量的期望值，y(t)是被控制变量的实际值，即控制系统的 输出。稳定的控制系统，在输入变量的作用下，动态过程结束后，进入稳定状态的误差, 称为稳态误差赴已ess =加 off)t T gR+兀A1n(i)1r(i)图3.23单位反馈和非单位反馈系统(a)单位反馈系统；(b)非单位反馈系统在控制工程中，常用控制系统的偏差信号来表示误差。对图3.23 (a)所示的单 位反馈系统，误差与偏差的含义是相同的，即(3.76)式中r(t)为系统的给定值，也就是输出y(t)的期望值
3、。单位反馈系统的稳态误 差为：血=賦呛)一讥卯“ ”、(3.77)对图3.23(b)所示的非单位反馈系统，因为反馈变量f(t)并不与输出变量y(t) 完全相同，所以给定值与反馈变量之差，即偏差并不是(3.75)式意义上的误差。 但如果反馈环节H(s)不含有积分环节，在tT co时，由于暂态项的消失，反馈 量低Q与输出量讥co)之间就只差一个比例系数我们认为反馈量可以代表输出 量，于是，定义非单位反馈系统的误差为啲=叩)-他(3.78)式中r(t)是非单位反馈系统的给定值，f(t)是反馈信号。根据图3.23(b)非单 位反馈系统各环节间信号的关系，可得弧)=如果把单位反馈系统看成是一般反馈系统的
4、特殊情况，则（3.79）式就被定义为 控制系统误差的拉普拉斯变换表达式。根据拉普拉斯变换的终值定理得ess =h曲= Um 9 丙T t co总 t Q(3.80)式（3.80）表明，控制系统的稳态误差不仅仅是由系统本身的特性决定的，还与 输入函数有关。同一个系统在输入信号不同时，可能有不同的稳态误差。也就是 说控制系统对不同的输入信号，控制精度是不同的。3.5.2 积分环节对稳态误差的影响肉o）耳心）=?=1式（3.80）中的开环传递函数可以表示为(3.81)式中K表示系统的开环放大系数。N表示开环传递函数所包含的积分环节数。在 分析控制系统的稳态误差时，我们根据系统开环传递函数所含的积分环
5、节数来对 系统进行分类。若N=0，即控制系统开环传递函数不含积分环节，称为0型系统。 若N=I,则称为I型系统。N= II,称为II型系统。现在，我们来讨论不同类型的 控制系统在典型输入信号作用下的稳态误差。1. 单位阶跃函数输入下的稳态误差单位阶跃函数输入下系统的稳态误差为0 1十G劇0SS =卫t 0 1十耳s如果我们定义(3.84)(3.85)(3.86)(3.87)(3.83)式中验称为位置误差系数，则单位阶跃输入下系统的稳态误差为1=1十苍对于0型系统k n琢十i)观m= nn e 十 i)e=iKp= 賦 Gq(3)H(3)= K T Q稳态误差赴为1 ess = TT式(3.87
6、)说明，0型系统在单位阶跃输入下是有稳态误差的。所以我们称0型 系统对单位阶跃输入是有差系统。可以通过增大开环放大系数K使稳态误差减 小，但不能消除，因为系统本身的特性决定了稳态误差不可能完全消除。对于I型或II型系统：系统的开环传递函数为I型k n【珈十i)G像阳=n 13打g十1)II型k n (琢十i)肉耳心)=g 讥 _ J3 口J十1)i = l系统的位置误差系数KP =賦 沿)耳) = co T Q系统的稳态误差为103S = = 01十K習(3.89)(3.90)(3.91)(3.91)式说明，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，系统必须含有积分环 节。可以看出，积分环节具有消除
7、稳态误差的作用。2. 单位斜坡函数输入的稳态误差单位斜坡函数输入下控制系统的稳态误差为lim卫1十岳m + 41 + &耳0 Mo耳定义(3.93)则系统的稳态误差为式中，尺旧称为速度误差系数。对于0型系统%= 畑心心冋町3 T Qm-k n (琢十i)UmJ S 0J =丄n (Tsi)i = l=0稳态误差为1 -r 8 jA-li(3.95)对于I型系统mk n环十1）Kv = 伽J S 0r In5 n（环十1）? = 1=K(3.96)稳态误差为1Sss =iK(3.97)式中K为系统的开环放大系数。 对于II型系统稳态误差为rrtk n曲十i)屁=曲.卫一s 0g沖一 23 口 g
8、 十 1) = 1=3(3.98)1(3.99)= 0Ku在单位斜坡函数输入下，0型系统的稳态误差为无穷大。这说明0型系统不能跟 踪斜坡函数。I型系统虽然可以跟踪单位斜坡输入函数，但存在稳态误差，即I 型系统对斜坡输入是有差的。若要在单位斜坡函数作用下达到无稳态误差的控制 精度，系统开环传递函数必须含有二个以上的积分环节。3. 单位抛物线函数输入下的稳态误差单位抛物线输入函数作用下系统的稳态误差为r -31.0 1十创耳卫tO肉耳100)(3.定义(3.101)则有(3.102)式中用称为加速度误差函数。对0型系统(3.103)对表3.2典型输入信号作用下系统的稳态误差系统类型误差系数输入r(
9、t)=1输入r(t)二t1 2输入r(t)=2七K uK a16ss 1+ K D6ss 1+ K v_ 16ss 1+ K0型K0011十K11I型1K001 IT1II型11K001rI型系统比=0瑶=3(3.104)对II型系统Ka = K_ 1&SS=K(3.105)K为系统的开环放大系数。在抛物线函数输入下，0型、I型系统都不能使用。II型系统则是有差的。若要 消除稳态误差，必须选择III型以上的系统。但系统中积分环节太多，动态特性 就会变坏，甚至使系统变得不稳定。工程上很少应用II型以上的系统。表3.2 给出了典型输入函数作用下各型系统的稳态误差。从以上讨论中可以得出结论：积分环节
10、具有消除稳态误差的作用。这就是许多控 制系统中引入积分环节的原因。误差系数兔，忌,是利用拉普拉斯变换终值定理得出的，它只是时间趋于无穷 大时的值，因此是静态误差系数，它们并不反映误差随时间变化的情况。3.5.3 扰动作用下的稳态误差以上我们讨论了控制系统对给定值信号的稳态误差。在控制系统受到扰动时，即 使给定值不变，也会产生稳态误差。系统的元件受环境影响、老化、磨损等会使 系统特性发生变化，也可以产生稳态误差。系统在扰动作用下的稳态误差大小反 映了系统抗干扰的能力。图3.24是一个控制系统的结构图。我们现在来讨论这个系统在扰动d(t)作用下 的稳态误差。按叠加原理，我们假定R(s)=O,系统中
11、只有扰动输入。系统在扰动 作用下的输出为-陋)1十Gig利用拉普拉斯变换的终值定理得ess =- 加竺空)“(3.106)值得说明的是，扰动稳态误差与干扰的作用点有关。所以式(3.106)只适用图3.24所示的系统。若要求系统在给定值输入和扰动输入同时作用下的稳态误差，只要将二者叠加就 可以了。系统在扰动作用下的稳态误差也是系统的一项重要稳态特性指标。 例6单位反馈系统前向通道的传递函数为G =3(3 + 1)求系统在输入信号他=3十盘十盘作用下的稳态误差。解可以根据叠加原理分别求=能先(t)=哉2的稳态误差。本系统为I型系统，佗帥=3为阶跃函数，孤=s。因此有3Sssl = = 01十K里比(可为斜坡函数，稳态速度误差系数尺电=10 ,由此得到=0.2出側为抛物线函数，稳态加速度误差系数 = ,因此6系统的稳态误差为Sgs = gsl 十 ss2 十 ss 3 =匚口
