小学中高年级学生“用字母表示数”理解水平层次研究).doc

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1、小学中高年级学生“用字母表示数”理解水平层次研究宁波市江东区中心小学 孙红波【摘要】 重视“用字母表示数”的学习不仅有助于学生掌握代数知识和代数方法的精髓，而且有助于发展学生的思维和符号意识。但是学生在学习该知识以前，对它所涵盖的所有意义的理解能力是有限的，并且是存在水平层次上的差异的。我们要正视层次的存在并依据层次，由浅入深、由易到难进行教学。不同年级孩子的理解水平也是不同的，所以要根据孩子的年龄特点制定恰当的教学目标；合理处理教材以帮助学生理解。【关键词】 小学中高年级 用字母表示数 理解水平层次 一、“用字母表示数”理解水平层次的产生。 “用字母表示数”是整个代数知识学习的基础，在小学数

2、学与初中代数之间起着承前启后的作用。现行六套教材对这个知识都只安排了一个单元的一块内容，由于内容少，前后知识间看似又没有太多的联系，教师缺乏对“用字母表示数”学生理解水平层次的细化把握，导致教学层次的划分不清晰，对教学目标的把握不准确等问题。本实验研究通过先后两次进行样本测试，并经过分析、改造，提出了小学中高年级学生“用字母表示数”理解水平层次框架。二、“用字母表示数”理解水平层次的框架。实验选取了两个标准，即：知识内容的难易层次（是以学生参与问题解决的知识点多少或思维含量的多少为标准）和题目结构复杂性的层次（以问题的呈现的方式和阻碍学生问题解决的干扰因素为标准），如：同一水平层次中由于题目结

3、构的复杂性不同，由易到难安排了一组题目，在这里对于知识内容的本质来讲是同一水平层次的，但答题的难易性来讲，却是有层次差异的。同一水平层次内的层次差异可被看成是相同本质下的量变，目的是研究学生对不同呈现方式表现出来的理解水平上的差异。结合这两个方面标准的考虑，通过对四年级孩子的预测结果将“用字母表示数”的理解分成了以下十个水平层次，并将22道题作为测试题，面对四到六年级三个年级学生进行测查。第一水平：求图形算式或数列中的字母的值。这一层次是学生利用已有知识和生活经验求图形或字母的值。通过观察和计算，理解在一个数列或者一个算式中字母（符合、图形）可以表示一个特定的数。第一水平的题：题1： 如果+5

4、=8， 那么=（ ）。题2：如果 + + =60 那么 =（ ）。题3 ：数列2、4、6、M、10 M=（）从学生的测试结果发现，三个年级孩子解决这三题的正确率均为100%，其中关于题1的解题方法孩子们都想到了用“和减另一个加数”，由于数据简单，87%的孩子说是直接看到算式就想到了3。题2有54.3%的孩子是用603的方法通过计算得到的。题3有100%的孩子说是通过观察发现的，其中有两个四年级孩子说M底下盖着一个8，在他看来M就是一块“盖布”。需要说明的是，这里的数列规律如果复杂些，学生的正确率可能会有所降低，但这只是对发现规律本身的问题，而不是对依据规律求数列中字母的值的解题方法问题，对解决

5、此类问题的本质还是不变的，所以在这里我们忽视规律的发现难度。第二水平：给字母的值，求代数式的值。这一层次的题目是理解当字母表示一个确定的数时，可以代入求出含有字母的代数式的具体值，题4：当A=5，则A+5=3+5=8。题5：给一个代数式的值，如：a+b=10，可以忽略这个代数式的每一个字母的具体值，而把它看作一个整体，直接参与运算，求这个整体的3倍的值。虽然这里涉及到了两个未知变量，但可以通过代数式之间的比较消去变量，直接把a+b看成一个数10。题6：虽然未直接给出n的值，但可以根据3333，前求出n的值，再求出n-18的值，也可以直接比较两个代数式，发现后者减数大1，则差要小1。题4：填表A

6、代表5 A代表8 A代表10A+32A3A-8题5：a+b=10,那么(a+b)3=（ ）题6：如果3333，那么（）第二层次题各年级正确率（%）比较。水平层次题号四年级五年级六年级题444.897.5100第二层次题596.697.5100题68497.5100数据说明：由于四年级学生不知道2A表示的值，所以在预测时，我们忽略题4下面两题正确率计算，但正式测试时我们出于调查的完整性考虑，将它列入测试范围。通过测试我们发现四年级孩子对2A和3A的理解有一个很有意思又是普遍的现象：49.4%的孩子认为2A是一个两位数，十位上是2，个位上是A，所以当A=5时，2A就是25，3A-8就是27。另外学

7、生在解答第六题时，四年级仅有16个（18.4%）孩子用先求出n的值，再将n的值代入n-18中计算，其中5人计算n值时算错；在另外的71人（81.6%）都是根据比较两个代数式得到n-18的值，其中4人将差减一，错算成差加一。五年级错误2人，以上两种情况各错一人。5号题错误的均为未做，测后访谈结果为：不知道什么意思。第三水平：利用情境归纳法理解字母可以表示一个特定的任意数。这一层次是结合具体情境，利用归纳的方法和一一对应的思想，理解字母可以表示一个任意数。这里假定的字母已给出，依据给定的格式和方法，由具体的数值类推到字母，表达同一类的数量。题7： 1 只青蛙1张嘴， 2 只青蛙2张嘴， 3 只青蛙

8、3张嘴， m只青蛙（ ）张嘴。题8：学校给每位少先队员发一条红领巾，A校有n名少先队员，该买（ ）条红领巾。第三层次题各年级正确率（%）比较。水平层次题号四年级五年级六年级第三水平题785.2100100题882.8100100我们发现四年级孩子对字母的理解是这样的：题7中，1 只青蛙1张嘴， 2 只青蛙2张嘴， 3 只青蛙3张嘴， m只青蛙（ ）张嘴。有14.5%的孩子不能理解m只青蛙与m张嘴的对应关系，其中11.2%的孩子写成了13张嘴，他们认为m是第13个字母，所以应该是13，8号题的答案就是14了。还有两个孩子写成了“无数”张嘴，因为m、n是“无数”的意思。题8增加了一个干扰量“A校”

9、，但没有一个孩子写成A张嘴，说明他们理解A对应的不是红领巾条数。第四水平：借助情境利用类推法，理解用含有字母的式子可以表示一种既定的数量关系。这一层次是结合具体的情境，利用归纳法或类推法，由给定的数字算式类推到字母算式。在这里既要理解用字母可以表示一个不确定的数，又要理解用含有字母的式子可以表示一种既定的简单数量关系。题9： 妈妈比小明大30岁，小明1岁 妈妈 1+30 岁；小明2岁 妈妈 2+（ ）岁；小明3岁 妈妈 （ ）+（ ）岁 小明a岁 妈妈 （ ）+（ ）岁这里的a岁和前面的1岁、2岁、3岁有什么不同吗？题10： 摆一个三角形用了3根小棒； 摆2个三角形用的小棒根数：（ ）3=6；

10、 摆3个三角形用的小棒根数：（ ）3=（ ）； 摆a个三角形用的小棒根数：（ ）( )；水平层次题号四年级五年级六年级第四水平题9 69.097.5100题1064.498.8100测试发现，四年级孩子虽然有情境的借助和前面数字算式的拐杖，但学生对用含有字母的代数式表示一种数量关系的理解还是有一定困难的。因为这是他们第一次自己定义一个代数式。在题9错误的31%的答案中，用“4+30”表示的占20.7%，他们将a看成顺着3岁下面的一个自然数了。另外的近10%的孩子，对年龄差不变或者用算式表示年龄差不变有困难，写成“小明2岁时，妈妈2+29岁或者2+31岁”等他们把两人的年龄和看成了一个不变的量。

11、在表述a岁和1岁、2岁、3岁有什么不同（不计正确率，只作为信息采集）时，四年级有43.5%的孩子认为“没有不同，都表示年龄”；23.5%的孩子认为有区别“一个是字母，一个是数”；17.2%的孩子认为“a是除了1、2、3以外的所有的数”；5.7%的孩子认为“a是不知道的数，1、2、3是知道的数”；另外有6.9%的孩子认为“是不能大于120、110、100这样的自然数”这些孩子还表述了人是不能永远活着的。这一表述的五年级有34.6%，六年级有47.4%。五年级认为没有区别的占6.2%，认为“比1、2、3大的”占18.6%，同样的表述的六年级有17.1%。第五水平：用含有字母的一步运算代数式表示数量

12、关系。这一层次是借助具体情境，运用简单的基本数量关系这一已有知识，理解用含有字母的式子也可以表示一种数量关系。它必须建立在对基本数量关系的理解基础上的，但又是借助具体情境帮助理解。已经学过用字母表示数的学生会用省略乘号的简便方法表示字母和数、字母与字母相乘关系，体验数学的简洁美。这里题11是只有一个字母的，但是表示的是乘除二级运算关系，题12、13虽然有两个字母，但表达的是比较大小的一级数量关系，三道题从本质上讲都是一步计算的数量关系。所以，将它们放在同一个水平层次可以认为是合理的。题11：一本故事书m元，3本故事书（ ）元，那么200元可以买（ ）本。题12：小明身高a米，老师比小明高b米，

13、老师的身高是（ ）米。题13：食堂原计划每月烧煤a吨，实际节约b吨，实际每月烧煤（ ）吨。水平层次题号四年级五年级六年级第五水平题11 48.398.8100题1题1242.597.5100题1343.798.8100 测试发现四年级孩子对单纯依靠题目提供的情境，用含有字母的代数式来表示基本数量关系是有困难的，在没有系统学习的前提下，正确率不到50%，题12中23.8%的孩子都选择放弃解答，另外的孩子写着“老师的身高是c米”等，访谈了解到他们以为括号里要填一个数，或者不知道可以用a+b这样的算式来表示。对于这个教学难点，如何突破需要我们思考。第六水平： 借助情境理解含有字母的一步运算代数式表示

14、的意义。这一层次借助具体情境，理解给定的一步运算代数式表示的意义。在这一层次里可能存在两个程度差异，即单纯表达是哪两个数量的运算，另一个程度能从整个数量关系上理解运算结果表示的意义。题14：根据图说说算式的意思。每筐a千克 每筐b千克 a+b表示( ) a-b表示( ) 题15：长方形的面积用字母s表示，长用字母a表示，那么sa表示（ ）水平层次题号四年级五年级六年级第六水平题1474.897.5100题1557.598.8100需要说明的是，这里的正确要求仅仅是能说出谁与谁的差（和），谁与谁相除就可以了的。如果从严格要求说出结果表示的意义的，各年级的差异还是很明显的。四年级只有22.7%，五年级有60.5%的孩子，六年级有93.4%的孩子从结果角度去表述。第七水平：脱离情境，用含有字母的一步运算代数式表示数量关系这一层次是学生脱离具体情境，理解用含有字母的一步运算代数式表示两个数量相加、相减、相乘、相除关系及计算公式。根据已有知识，将头脑中用文字描述的数量关系式抽象成用字母表示。但从理解层次