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1、(完整word版)五、矩阵的特征值与特征向量五、矩阵的特征值与特征向量(一）考试要求1理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵的特征值的性质,掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。2理解相似矩阵的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可对角化的必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。3掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质以及实对称矩阵正交对角化的方法。（二）基本内容1。特征值特征向量的概念为阶方阵，是一个数,若存在维非零列向量，使，则称是的一个特征值，为对应于特征值的特征向量.由于有非零解，所以的根就是的特征值。若是的一个特征值，有非零解，它的所有非零解就是对应于特征值的全部特征向量.2.特征
2、值与特征向量的求法。的全部根就是的全部特征值；对于的每一个特征值，解齐次线性方程组,它的基础解系为：，则对应于特征值的全部特征向量为，不全为零。3.特征值与特征向量的基本性质任何矩阵与它的转置矩阵具有相同的特征值;设阶矩阵的个特征值分别为：则：因此，阶矩阵可逆的充分必要条件是：的所有特征值均不等于零。若是的个特征值，对应的特征向量依次为:；则是的个特征值，对应的特征向量依次为：；是的个特征值，对应的特征向量依次为；其中为多项式所对应的矩阵多项式。特别当可逆时，是的个特征值，对应的特征向量依次为。属于不同特征值的特征向量线性无关。4。相似矩阵的概念与性质、均为阶方阵，若存在可逆矩阵，使，则称与是
3、相似的，记为.相似是一种等价关系（满足自反性、对称性与传递性），它具有如下性质：性质若，则；因而，与具有相同的特征值,特征向量分别为、;与主对角线元素之和相等,且；性质若，则与同时可逆或同时不可逆，当、均可逆时，有，并且。对任何正整数，；性质若,则单位矩阵与数量矩阵只与它自己相似。5。矩阵可对角化的条件阶方阵可与对角矩阵相似的充分必要条件是：有个线性无关的特征向量.且，使，而且都是的特征值，依次为对应的特征向量.注意：与的对应关系。推论1.若阶方阵的个特征值互不相同，则必可与对角矩阵相似，即（充分非必要条件)推论2。阶方阵可与对角矩阵相似的充分必要条件是：对于的每一个重特征值，满足。6.实对称
4、矩阵的对角化为阶实对称矩阵，则：的所有特征值全为实数，特征向量必可取为实向量；一定有个线性无关的特征向量，所以，必可对角化；属于不同特征值的特征向量是彼此正交的;必存在正交矩阵,使为对角矩阵。将实对称矩阵正交对角化的步骤:（关键是求出正交矩阵）求的全部不同的特征值；对于的每一个特征值，求线性方程组的一个基础解系；将正交化、单位化（标准化)；以的个经过正交化、单位化的特征向量为列向量，作正交矩阵，则：（三)典型例题选讲特征值与特征向量的求法1。(87。）求矩阵的实特征值及其所对应的特征向量。2。（92。）矩阵的非零特征值是 。3.已知A为阶方阵(称A为幂等矩阵）,求A的特征值。4.已知A为阶方阵
5、,若存在正整数,使得(称A为幂零矩阵）。求A的特征值。5.（98。）设向量,，都是非零向量，且满足条件。记n阶矩阵A=,求：（1）;(2)矩阵A的特征值和特征向量。特征值与特征向量的性质6。（89.。）设(1）试求A的特征值；(2）利用第（1)小题的结果，求矩阵的特征值。7。（90.）A为阶矩阵,是A的两个不同的特征值,是分别属于的特征向量.试证明：不是A的特征向量.8.（91.）A为阶可逆矩阵，是A的一个特征值，则A的伴随矩阵的特征值之一是（ ）A。B。C。D。9。（91。）已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量,试求常数的值。10.(93.）设是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（
6、 )A.B.C。D.11。（96。）设4阶方阵A满足条件,，其中为4阶单位矩阵。求方阵A的伴随矩阵的一个特征值。12.(2002。）设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。已知维列向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是（ ）（A）(B）（C）（D)13.AB，且存在阶可逆矩阵P，使得.证明：（1）若A对应于特征值的特征向量为，则若B对应于特征值的特征向量为；(2）若B对应于特征值的特征向量为，则若A对应于特征值的特征向量为。相似矩阵与矩阵可对角化的条件14。(93。)阶方阵A有个不同的特征值，是A与对角矩阵相似的（ ）A.充分必要条件B。充分而非必要条件C.必要而非充分条
7、件D。既非充分也非必要条件15。（94.)设有三个线性无关的特征向量，求应满足的条件。16.(95。）设三阶矩阵A满足,其中 。试求矩阵A。17。（97.）设矩阵A与B相似，且A=，B=(1)求的值；(2)求可逆矩阵P使。18。(99.）设矩阵，当为何值时，存在可逆矩阵,使得为对角矩阵？并求出和相应的对角矩阵.19.（2000.)设矩阵,已知A有三个线性无关的特征向量，是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使为对角矩阵。20.（99。）设A、B为阶矩阵,且A与B相似，E为阶单位矩阵，则（ )ABA与B具有相同的特征值与特征向量CA与B都相似与同一个对角矩阵D对任意常数，与相似21。(2000。）设
8、四阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为,则行列式 .22.（2000。）设四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为2,3，4，5，则行列式 。23。（2002。）设实对称矩阵求可逆矩阵，使为对角矩阵，并计算行列式的值。实对称矩阵的对角化24。（96。)设矩阵，(1）已知A的一个特征值为3,试求;（2）求矩阵P,使为对角矩阵。25。（1997）设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3;矩阵A属于特征值1，2的特征向量分别是，。（1)求A属于特征值3的特征向量；（2）求矩阵A.26(2001。)设矩阵，已知线性方程组有解但不惟一，试求（1)的值;（2）正交矩阵，使为对角矩阵.27.设是三阶实对称矩阵,的特征值是，则 。第5页
