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1、3.2立体几何中的向量方法知识点一用向量方法判定线面位置关系(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：a(2,3，1)，b(6，9,3)a(5,0,2)，b(0,4,0)(2)设u、v分别是平面、的法向量，判断、的位置关系：u(1，1,2)，v(3,2，)u(0,3,0)，v(0，5,0)(3)设u是平面的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与的位置关系u(2,2，1)，a(3,4,2)u(0,2，3)，a(0，8,12)解(1)a(2,3，1)，b(6，9,3)，ab，ab，l1l2.a(5,0,2)，b(0,4,0)，ab0，ab，l1l2.(2)u(1，1,
2、2)，v(3,2，)，uv3210，uv，.u(0,3,0)，v(0，5,0)，uv，uv，.(3)u(2,2，1)，a(3,4,2)，ua6820，ua，l或l.u(0,2，3)，a(0，8,12)，ua，ua，l.知识点二利用向量方法证明平行问题如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点求证：MN平面A1BD.证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M (0,1，)，N (,1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是=（，0，），设平面A
3、1BD的法向量是n=（x，y，z）.n(x，y，z)则n0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又 n (,0，)(1，1，1)0，方法二 =，又MN平面A1BD.MN平面A1BD.知识点三利用向量方法证明垂直问题在正棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BEECPFFB12.(1)求证：平面GEF平面PBC；(2)求证：EG是PG与BC的公垂线段证明(1)方法一如图所示，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系令PAPBPC3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0
4、,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)于是(3,0,0)，(3,0,0)，故 3，PAFG.而PA平面PBC，FG平面PBC，又FG平面EFG，平面EFG平面PBC.方法二同方法一，建立空间直角坐标系，则E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)(0，1，1)，(0，1，1)，设平面EFG的法向量是n(x，y，z)，则有n，n，令y1，得z1，x0，即n(0,1，1)而显然=（3，0，0）是平面PBC的一个法向量.这样n=0,n即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，平面EFG平面PBC.（2） =（1， 1， 1）， =（1，1，0）， =（0，
5、 3，3），=11=0， =33=0，EGPG，EGBC，EG是PG与BC的公垂线段. 知识点四利用向量方法求角四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60，在四边形ABCD中，DDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值解(1)如图所示，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，DDAB90，AB4，CD1，AD2，A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)由PD面ABCD得PAD为PA与平面ABCD所成的角PAD60.在RtP
6、AD中，由AD2，得PD2P(0,0,2)（2）(2,0，2)， =（2， 3，0）cos,=PA与BC所成角的余弦值为正方体ABEFDCEF中，M、N分别为AC、BF的中点(如图所示)，求平面MNA与平面MNB所成二面角的余弦值解取MN的中点G，连结BG，设正方体棱长为1.方法一AMN，BMN为等腰三角形，AGMN，BGMN.AGB为二面角的平面角或其补角AG=BG=,，设，=，2222，1()22cos()2.cos，故所求二面角的余弦值为方法二以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz则M(，0，)，N (,0)，中点G(，)，A(1,0,
7、0)，B(0,0,0)，由方法一知AGB为二面角的平面角或其补角(，)，(，)， cos=,故所求二面角的余弦值为方法三建立如方法二的坐标系，即取n1(1,1,1)同理可求得平面BMN的法向量n2(1，1，1)cosn1，n2,故所求二面角的余弦值为知识点五用向量方法求空间的距离已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离解如图所示，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Cxyz.由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)
8、，G(0,0,2)(0,2,0)，(2,4,0)，设向量平面GEF，垂足为M，则M、G、E、F四点共面，故存在实数x，y，z，使 =x+y+z，即 =x（0，2，0）+y（2，4，0）+z（4，0，2）=（2y4z，2x+4y，2z）.由BM平面GEF，得,，于是0，0，即即，解得(2y4z,2x4y,2z)| 即点B到平面GEF的距离为考题赏析(安徽高考)如图所示，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点(1)求异面直线AB与MD所成角的大小；(2)求点B到平面OCD的距离解作APCD于点P.如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x
9、、y、z轴建立平面直角坐标系A(0,0,0)，B(1,0,0)，P (0，0)，D (，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)(1)设AB与MD所成角为，(1,0,0)， (，1)，cos =AB与MD所成角的大小为（2） =（0,，）， =（， ，）,设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),则n=0， n= 0.得取z=，解得n=(0,4,).设点B到平面OCD的距离为d,则d为在向量n上的投影的绝对值. =（1，0， 2），d,点B到平面OCD的距离为,1已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A (，) B (，)C (，)D (，
10、)答案D(1,1,0)，是平面OAC的一个法向量(1,0,1)，(0，1,1)设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)令x1，则y1，z1n(1,1,1)单位法向量为： (,，)2已知正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是()A60B45C30D90答案B3设l1的方向向量a(1,2，2)，l2的方向向量b(2,3，m)，若l1l2，则m()A1B2CD3答案B解析因l1l2，所以ab0，则有1(2)23(2)m0，2m624，即m2.4若两个不同平面，的法向量分别为u(1,2，1)，v(3，6,3)，则()ABC，相交
11、但不垂直D以上均不正确答案A解析因v3u，vu.故.5已知a、b是异面直线，A、Ba，C、Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a与b所成的角是()A30B45C60D90答案C解析设，=，=（+ +=|2=1，cos=,所以=606若异面直线l1、l2的方向向量分别是a(0，2，1)，b(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于()ABCD答案B解析设异面直线l1与l2的夹角为，则cos7已知向量n(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线l上，则点P(4,0,2)到直线l的距离为_答案，解析 =（6，0，0），因为点A在直线l上， n与l垂直，所以点P到直线l的距
12、离为8平面的法向量为(1,0，1)，平面的法向量为(0，1,1)，则平面与平面所成二面角的大小为_答案或，解析设n1(1,0，1)，n2(0，1,1)则cosn1，n2n1，n2因平面与平面所成的角与n1，n2相等或互补，所以与所成的角为或9已知四面体顶点A(2,3,1)、B(4,1，2)、C(6,3,7)和D(5，4,8)，则顶点D到平面ABC的距离为_答案11解析设平面ABC的一个法向量为n=（x,y,z）则令x=1,则n=(1,2,), =（7，7，7）故所求距离为,10如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD平面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于F.(1)证明：PA平面BDE；(2)证明：PB平面DEF.证明 (1)如图建立空间直角坐标系，设DCa，ACBDG，连结EG，则A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E (0，)，G (，0)于是=（a，0， a）， =（，0，）, =2，PAEG.又EG平面DEB.PA平面DEB.PA平面DEB.(2)由B(a,a,0),得 =(a, a, a),又 =（0, ,）, =PBDE.又EFPB，EFDE=E，PB平面EFD.11如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所
