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1、抛物线及其标准方程一选择题（共8小题）1已知点P（x，y）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q（x+y，xy）的轨迹是（）A圆B抛物线C椭圆D双曲线2正方体ABCDA1B1C1D1 中，M为侧面ABB1A1所在平面上的一个动点，且M到平面ADD1A1的距离与M到直线BC距离相等，则动点M的轨迹为（）A椭圆B双曲线C圆D抛物线3已知定点A（1，1）和直线l：x+y2=0，则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为（）A椭圆B双曲线C抛物线D直线4若抛物线y2=2px的焦点与双曲线=1的右焦点重合，则p的值为（）A2B2C4D45抛物线y=4x2的准线方程是（）Ay=1By=1Cy=Dy=
2、6抛物线的准线方程是，则其标准方程是（）Ay2=2xBx2=2yCy2=xDx2=y7顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（）Ax2=3yBy2=6xCx2=12yDx2=6y8已知点F为抛物线y 2=8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A6BCD4+2二填空题（共8小题）9已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为 10抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 11圆心在x轴上，经过原点，并且与
3、直线y=4相切的圆的标准方程是 12平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离比到直线x=2的距离小1若机器人接触不到过点P（1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是 13若坐标原点到抛物线x=m2y2的准线的距离为2，则m= ；焦点坐标为 14顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线2x+y2=0上的抛物线方程是 15在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px经过点（4，2），则实数p= 16对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在x轴上；焦点在y轴上；抛物线的通径的长为5；抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离等于6；抛物线的准线方程为x=；由原点向过焦点的某条直线作垂线，
4、垂足坐标为（2，1）能使抛物线方程为y2=10x的条件是 三解答题（共2小题）17平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，3）、N（5，1），若点C满足=t+（1t）（tR），点C的轨迹与抛物线：y2=4x交于A、B两点（）求证：；（）在x轴上是否存在一点P（m，0）（mR），使得过P点的直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由18已知点F（0，1）为抛物线x2=2py的焦点（1）求抛物线C的方程；（2）点A、B、C是抛物线上三点且+=，求ABC面积的最大值抛物线及其标准方程参考答案与试题解析一选择题（共8小题）
5、1已知点P（x，y）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q（x+y，xy）的轨迹是（）A圆B抛物线C椭圆D双曲线【分析】先设处点Q的坐标，进而根据定义得出u=x+y和v=xy，利用圆的半径为1，代入圆的方程，进而求得u和v关系，则点的轨迹可得【解答】解：设Q（u，v），则x2+y2=1，u22v=x2+y2=1点Q的轨迹是抛物线故选B【点评】本题主要考查了抛物线的定义属基础题2正方体ABCDA1B1C1D1 中，M为侧面ABB1A1所在平面上的一个动点，且M到平面ADD1A1的距离与M到直线BC距离相等，则动点M的轨迹为（）A椭圆B双曲线C圆D抛物线【分析】根据正方体ABCDA1B1C1D1，可
6、得|MB|等于M到AA1的距离，根据抛物线的定义，可得结论【解答】解：BC平面ABB1A1，|MB|表示M 到直线BC 距离相等平面ADD1A1平面ABB1A1，M 到平面ADD1A1 的距离等于M到AA1的距离M 到平面ADD1A1 的距离与M 到直线BC 距离相等，|MB|等于M到AA1的距离根据抛物线的定义，可知动点M 的轨迹为抛物线故选D【点评】本题重点考查正方体的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是得出|MB|等于M到AA1的距离3已知定点A（1，1）和直线l：x+y2=0，则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为（）A椭圆B双曲线C抛物线D直线【分析】判断定点A与直线的位
7、置关系，然后判断动点的轨迹【解答】解：因为定点A（1，1）在直线l：x+y2=0上，所以到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点A与直线l：x+y2=0，垂直的直线故选D【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，逻辑推理能力，考查计算能力注意本题与抛物线定义的区别，易错选C4若抛物线y2=2px的焦点与双曲线=1的右焦点重合，则p的值为（）A2B2C4D4【分析】求出双曲线的焦点坐标，可得抛物线y2=2px的焦点坐标，即可求出p的值【解答】解：双曲线=1的右焦点为（2，0），即抛物线y2=2px的焦点为（2，0），=2，p=4故选D【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考
8、查学生的计算能力，属于基础题5抛物线y=4x2的准线方程是（）Ay=1By=1Cy=Dy=【分析】将抛物线化成标准方程得x2=y，算出2p=且焦点在y轴上，进而得到=，可得该抛物线的准线方程【解答】解：抛物线y=4x2化成标准方程，可得x2=y，抛物线焦点在y轴上且2p=，得=，因此抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为y=故选：D【点评】本题给出抛物线的方程，求它的准线方程着重考查了抛物线的标准方程及其基本概念等知识，属于基础题6抛物线的准线方程是，则其标准方程是（）Ay2=2xBx2=2yCy2=xDx2=y【分析】根据准线方程，可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，再设抛物线的标准形式为x2=
9、2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，设抛物线标准方程为：x2=2py（p0），抛物线的准线方程为y=，=，p=1，抛物线的标准方程为：x2=2y故选B【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质属基础题7顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（）Ax2=3yBy2=6xCx2=12yDx2=6y【分析】先设出抛物线的方程，根据题意求得p，则抛物线的方程可得【解答】解：设抛物线的方程为x2=2p或x2=2p，依题意知=3，p=6，抛物线的方程为x2=12y，故选：C【点评】本题主要考查了抛物线
10、的标准方程考查了学生对抛物线的标准方程的掌握8已知点F为抛物线y 2=8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A6BCD4+2【分析】利用抛物线的定义由|AF|=4得到A到准线的距离为4，即可求出点A的坐标，根据：“|PA|+|PO|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值【解答】解：|AF|=4，由抛物线的定义得，A到准线的距离为4，即A点的横坐标为2，又点A在抛物线上，从而点A的坐标A（2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）则|PA|+|P
11、O|的最小值为：|AB|=故选C【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求值，是一道中档题二填空题（共8小题）9已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离【解答】解：F是抛物线y2=x的焦点F（，0）准线方程x=设A（x1，y1），B（x2，y2）|AF|+|BF|=x1+x2+=3解得x1+x2=线段AB的中点横坐标为
12、线段AB的中点到y轴的距离为故答案为：【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题10抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是【分析】根据点M到焦点的距离为1利用抛物线的定义可推断出M到准线距离也为1利用抛物线的方程求得准线方程，进而可求得M的纵坐标【解答】解：根据抛物线的定义可知M到焦点的距离为1，则其到准线距离也为1又抛物线的准线为y=，M点的纵坐标为1=故答案为：【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质抛物线中涉及点到焦点，准线的距离问题时，一般是利用抛物线的定义来解决11圆心在x轴上，经过原点，并且与直线y=4相切的圆的标准方程是（x4）
13、2+y2=16或（x+4）2+y2=16【分析】根据题意，确定出圆的圆心坐标与半径，进而可得圆的标准方程【解答】解：由题意可知，圆的半径为4圆心在x轴上，经过原点圆的圆心坐标为（4，0）或（4，0）圆心在x轴上，经过原点，并且与直线y=4相切的圆的标准方程是（x4）2+y2=16或（x+4）2+y2=16故答案为：（x4）2+y2=16或（x+4）2+y2=16【点评】本题考查圆的标准方程，解题的关键是确定出圆的圆心坐标与半径，属于基础题12平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离比到直线x=2的距离小1若机器人接触不到过点P（1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是k1或k1【
14、分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围【解答】解：平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离比到直线x=2的距离小1，即平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=1的距离相等，由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k24）x+k2=0，机器人接触不到过点P（1，0）且斜率为k的直线，=（2k24）24k40，k1或k1故答案为：k1或k1【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，
