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1、精品学习资料整理精品学习资料整理精品学习资料整理考前过关训练(三)柯西不等式、排序不等式与数学归纳法 (35分钟60分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.函数y=2+的最大值为()A.B.-C.-3D.3【解析】选D.y=+1=3,当且仅当=,即x=0时,等号成立.2.已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,则a的最大值是()A.1B.2C.3D.4【解题指南】利用柯西不等式构建关于a的不等式求解.【解析】选B.由柯西不等式,得(2b2+3c2+6d2)(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2(b+c+d)2,当且仅当=时等号成立.又b+c+d=3
2、-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,故5-a2(3-a)2,解得1a2,即a的最大值是2.3.一组实数为a1,a2,a3,设c1,c2,c3是另一组数b1,b2,b3的任意一个排列,则a1c1+a2c2+a3c3的()A.最大值为a1b1+a2b2+a3b3,最小值为a1b3+a2b2+a3b1B.最大值为a1b2+a2b3+a3b1,最小值为a1b3+a2b1+a3b2C.最大值与最小值相等为a1b1+a2b2+a3b3D.以上答案都不对【解析】选D.a1,a2,a3与b1,b2,b3的大小顺序不知,无法确定其最值.4.对于正整数n,下列说法不正确的是()A.3n1+2nB.0.9n1-
3、0.1nC.0.9n0,则0且a12b12c120,则+=+=a10+b10+c10.11.a1,a2,an是互不相等的正数,其中ai1,+),且i1,2,3,n,n2.证明:(1)+a1+a2.(2)+n.【证明】(1)因为a10,a20,且a1a2,所以+-a1-a2=0,所以+a1+a2.(2)不妨设1a1a2an,则.由排序不等式知,乱序和不小于反序和,又等号均不成立,所以+.即+a1+a2+an=n.12.(2016厦门高二检测)设an=1+(nN+),是否存在n的整式g(n),使得等式a1+a2+a3+an-1=g(n)(an-1)对大于1的一切正整数n都成立?证明你的结论.【解析
4、】假设g(n)存在,那么当n=2时,由a1=g(2)(a2-1),即1=g(2),所以g(2)=2;当n=3时,由a1+a2=g(3)(a3-1),即1+=g(3),所以g(3)=3,当n=4时,由a1+a2+a3=g(4)(a4-1),即1+=g(4),所以g(4)=4,由此猜想g(n)=n(n2,nN+).下面用数学归纳法证明:当n2,nN+时,等式a1+a2+a3+an-1=n(an-1)成立.(1)当n=2时,a1=1,g(2)(a2-1)=2=1,结论成立.(2)假设当n=k(k2,kN+)时结论成立,即a1+a2+a3+ak-1=k(ak-1)成立,那么当n=k+1时,a1+a2+ak-1+ak=k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k=(k+1)ak-(k+1)+1=(k+1)=(k+1)(ak+1-1),说明当n=k+1时,结论也成立,由(1)(2)可知,对一切大于1的正整数n,存在g(n)=n使等式a1+a2+a3+an-1=g(n)(an-1)成立.最新精品资料
