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1、综合测试卷(二)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1若在等差数列an中，a4a612，Sn是数列an的前n项和，则S9的值为()A48 B54 C60 D66【答案】B【解析】a4a612，a1a912，S954.2一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组数的频数和频率分别为40,0.125，则实数n的值为()A640 B320 C240 D160【答案】B【解析】0.125，n320.3已知复数z134i，z2ti且复数z12是实数，则实数t的值是()A. B. C D【答案】A【解析】复数z12(34i)(ti)3t4(4t3)i是实数，4t30，即t.4取一根长为3 m的绳子
2、，拉直后在任意位置剪断，那么得两段的长都不少于1 m的概率是()A. B. C. D.【答案】B【解析】设绳子的端点为A，B，两个三等分点为C，D，依题意，剪断点必须在线段CD上概率P .5已知圆C：(xa)2(y2)24(a0)及直线l：xy30，当直线l被圆C截得的弦长为2，则a()A. B2 C.1 D.1【答案】C【解析】圆心(a,2)到直线l的距离为，又弦长为2，()24.a1.6已知a，b，c是三条互不重合的直线，是两个不重合的平面，给出以下四个命题其中正确命题的个数是()若ab，b，则a；若a，b，a，b，则；若a，则a；若a，b，则ab.A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】
3、和正确7运行下面程序：则输出的结果是()A4 B5 C25 D16【答案】C【解析】由程序知输出结果是5225 .8已知则(x3)2(y1)2的取值范围是()A5,45 B，3C1,3 D1,45【答案】D【解析】可行域如下图所示，则点P(3,1)与ABC区域内(包括边界)的点的距离的最大值是|PB|，最小值是1.所以(x3)2(y1)2的取值范围是1,459若0ab1，Plog，Q(logalogb)，Mlog (ab)，则P，Q，M三者之间的大小关系是()APQM BQPMCQMP DMQP【答案】B【解析】Qlog，0ab1，QP.又0，.loglog，即MP.QPM10若函数f(x)a
4、|xb|2在区间0，)上为增函数，则实数a，b满足的条件是()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0，b0 Da0，b0【答案】B【解析】结合函数f(x)的图象的四种可能情况，知a0且b0.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11已知向量a(cos ，sin )，b(，1)且ab，则sin 的值是_【答案】【解析】ab，ab0，即cos sin 0.tan ，sin .12方程x3x10的根所在的一个长度为的区间是_【答案】【解析】设f(x)x2x1，则f(0)0, f(1)0, f0 , f0.所以根所在的一个长度为的区间是.13已知P，Q为椭圆y21上的两点，O为原点，若POQ为直角，则
5、点O到直线PQ的距离是_【答案】【解析】由特殊位置法(P，Q为顶点时)可得结论选做题：在下面两道小题中选做一题14(坐标系与参数方程选做题)已知在极坐标系中，直线l的方程为sin 3，则点到直线l的距离为_【答案】2【解析】点到直线l的距离为32sin2.15(几何证明选讲选做题)如图所示，已知四边形ABCD内接于O，BC是直径，MN切O于A，MAB25，则D_.【答案】115【解析】连接AO，则AOMN.OAM90.MAB25，BAO65.B65.BD180，D115.三、解答题(共6小题，共80分)16(12分)如下图所示，已知函数y2sin(x)的图象与y轴交于点(0,1)，(1)求的值
6、；(2)设点P是图象上的最高点，点M，N是图象与x轴的交点，求向量 与 的夹角的余弦值【解析】(1)因为函数图象过点(0,1)，所以2sin 1，即sin .因为0，所以.(2)由函数y2sin及其图象，得M，P，N.所以 ，.从而cos，.17(12分)已知一个多面体的直观图如图a所示，它的正视图和俯视图都是边长为2的正方形，左视图如图b所示，M，N分别是AF，BC的中点，(1)求证：MN平面CDEF；(2)求多面体ACDEF的体积；【解析】由三视图，可知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADEBCF且ABBCBF2，DECF2，CBF.(3分)(1)取BF的中点G，连接MG，NG，由M，
7、N分别是AF，BC的中点，可得NGCF，MGEF.NGMGG，CFEFF，平面MNG平面CDEF.MN平面MNG，MN面CDEF.(6分)(2)取DE的中点H，ADAE，AHDE.在直三棱柱ADEBCF中，平面ADE平面CDEF，平面ADE平面CDEFDE，AH平面CDEF.(9分)多面体ACDEF是以AH为高，矩形CDEF为底面的棱锥在ADE中，AH2，S矩形CDEFDEEF4，棱锥ACDEF的体积为VS矩形CDEFAH4.(12分)18(14分)已知函数f(x)x3nx2mx(xR)，(1)若函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，求函数f(x)的零点；(2)若0m3,0n3，求函数f(x
8、)在区间(1,2)上是减函数的概率【解析】(1)f(x)x2nxm，函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，关于x的方程x2nxm0的两根为1和2.f(x)x3x22x.由f(x)0，得x0或x2x20.(*)方程(*)的根的判别式0，该方程无解函数f(x)的零点为0.(2)f(x)x2nxm，函数f(x)在区间(1,2)上为减函数，则f(x)0对x(1,2)恒成立由函数f(x)的图象是开口向上的抛物线，得f(1)0，f(2)0，即1nm0,42nm0.建立平面直角坐标系，横轴为m，纵轴为n.解方程组得即交点C(3,2)又直线1nm0与n轴的交点为A(1,0)，直线42nm0与n轴的交点为B(
9、2,0)，则可行区域面积为121.故概率P.19(14分)已知函数f(x)axa2xa(a0且a1)，(1)解关于x的不等式axf(x)3a2；(2)若x2时，关于x的不等式f(x)4a恒成立，求实数a的取值范围【解析】(1)原不等式即为ax(axa2xa)3a2，(ax)2aax2a20，即(axa)(ax2a)0.axa0， ax2a0，ax2a.当a1时，原不等式的解集为x|xloga(2a)；当0a1时，原不等式的解集为x|xloga(2a)(2)要使关于x的不等式f(x)4a恒成立，只须函数f(x)在x2时的最小值4a.f(x)axln aa2xln aln aln a，x2，当a1
10、时，ln a0，axaa2aa(a1)0；当0a1时，ln a0，axaa2aa(a1)0.f(x)0.函数f(x)在区间2，)上为增函数fmin(x)f(2)a21a.a21a4a，即a22a30，即(a3)(a1)0.a3为所求20(14分)(1)已知椭圆C：1(ab0)与x轴交于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证：为定值b2a2.(2)由(1)类比可得如下真命题：已知双曲线C：1(a0，b0)与x轴交于A，B两点，点P是双曲线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，则为定值，请写出这个定值(不要求给出解题过程
11、)【解析】(1)设点P(x0，y0)(x0a)，依题意，得A(a,0)，B(a,0)直线PA的方程为y(xa)(2分) 令x0，得yM.(4分)同理yN.(6分)yMyN.点P(x0，y0)是椭圆C上一点，1，即y(a2x)(8分)yMyNb2.(a，yN)，(a，yM)，(10分)a2yMyNb2a2.(2)(a2b2)(14分)21(14分)已知数列an是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项的和，并且a23，a5S381，(1)求数列an的通项公式；(2)求关于n的不等式a 对一切nN*均成立最大实数a；(3)对每一个kN*，在ak与ak1之间插入2k1个2，得到新数列bn，设Tn是数列b
12、n的前n项和，是否存在正整数m，使Tm2 008？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由【解析】(1)设数列an的公差为d，若d0，则an3，Sn3n.此时3981，不合题意d0，有(3分)a11，d2，数列an的通项公式为an2n1.(4分)(2)由题意，得关于x的不等式a对nN*均成立，记F(n)，(5分)则1.F(n)0，F(n1)F(n)F(n)随n增大而增大函数F(n)的最小值为F(1).a，即实数a的最大值为.(8分)(3)an2n1，在数列bn中，am及其前面所有项之和为135(2m1)(2222m1)m22m2.(10分)10221021 1222 00811221122 156，即a102 008a11，(12分)又a10在数列bn中的项数为101228521，(13分)2 0081 1228864432，所以存在正整数m521443964，使得Sm2 008.(14分)
