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1、专题2-22 圆的方程【知识梳理】1.圆的定义（1）平面内到定点距离等于定长的点的集合是圆。（2）平面内到两定点距离之比等于定值的动点轨迹为圆（阿波罗尼斯圆）。2.圆的方程（1）圆的标准方程：（2）圆的一般方程：，（3）圆的参数方程：；（4）以为直径端点的圆方程为3.圆的方程的求法:（1）定义法（2）待定系数法：算术思想：通过研究圆的性质，直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得基本量(半径r和圆心(a，b)，然后求出圆的方程 方程思想：根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心和半径有关的信息，选择标准方程，若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求)，选择一般方程；（3）坐标法【训练测试】一、填空
2、题：1若方程表示圆，则的值为 -1若该方程表示圆，则，解得或，经检验当时，方程为，不表示圆，舍去2已知圆C过点,且与圆(0)关于直线对称则圆C的标准方程为 依题意，可设圆的方程为，且a、b满足方程组: 由此解得a=b=0又因为点P(1 ,1)在圆C上，所以故圆C的方程为.3.已知ABC的顶点为A（-1,5），B(5，5),C(6-2)，则ABC的外接圆的方程为 4以点为圆心且与直线相切的圆的方程是 .由题意，所以圆的方程为5圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 （答案：或）6方程表示的曲线是 以（1,0）为圆心，1为半径的圆的右半部分7. 已知点，则点M的坐标满足的关系是 8已知圆
3、的方程为，过定点可作该圆的两条切线，则求的取值范围是 解析：圆的方程可变形为：，其中，即 因为过定点可作该圆的两条切线，所以点在圆外，即 由可得：，故的取值范围 9已知点则点Q的坐标满足的条件是 10满足条件的三角形的面积的最大值是 解：以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，设，由得，平方化简整理得，则，的最大值是变式在中，边的中点为，若，则的面积的最大值是 解：以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，由知，的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为，设，的中点为得，所以点的轨迹方程为，即，故的最大值是变式在平面直角坐标系中，设点，若存在点，使得，则实数的取值范围是 解：设，则 ，整理得，即动
4、点在以为圆心，为半径的圆上运动另一方面，由知动点在线段的垂直平分线上运动，因而问题就转化为直线与圆有交点，所以，故实数的取值范围是二、解答题11在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A (1，0)，B (3，0)，C (0，1)（1）求圆M的方程；（2）若直线l：mx2y(2m1)0与圆M交于点P，Q，且 0，求实数m的值解（1）方法（一）设圆M的方程为x2y2DxEyF0，则 解得所以圆M的方程x2y24x4y30 方法（二）线段AC的垂直平分线的方程为yx，线段AB的垂直平分线的方程为x2，由解得M(2，2) 所以圆M的半径rAM，所以圆M的方程为(x2)2(y2)25 （2）因为0，所
5、以PMQ又由（1）得MPMQr，所以点M到直线l的距离d 由点到直线的距离公式可知，解得m 12在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为 ，圆心在上.若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.解： 设，则圆方程为又设， ， 即这说明既在圆上，又在圆上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切， ，解得，即的取值范围是13如图，平面直角坐标系中，和为两等腰直角三角形，C(a,0)(a0)设和的外接圆圆心分别为,（）若M与直线CD相切，求直线CD的方程；（）若直线AB截N所得弦长为4，求N的标准方程；（）是否存在这样的N，使得N上有且只有三个点到直线AB的距离为，若存在，求此时N的标准方程；若不
6、存在，说明理由（第13题） 解：（）圆心圆方程为，直线CD方程为 M与直线CD相切,圆心M到直线CD的距离d=, 化简得： （舍去负值）直线CD的方程为 （）直线AB方程为：，圆心N 圆心N到直线AB距离为 直线AB截N的所得弦长为4，a=(舍去负值) N的标准方程为 （）存在由（）知，圆心N到直线AB距离为(定值)，且ABCD始终成立当且仅当圆N半径,即a=4时，N上有且只有三个点到直线AB的距离为 此时， N的标准方程为 14设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C求：（）求实数b 的取值范围；（）求圆C 的方程；（）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论（）令0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，由题意b0 且0，解得b1 且b0（）设所求圆的一般方程为令0 得这与0 是同一个方程，故D2，F令0 得0，此方程有一个根为b，代入得出Eb1所以圆C 的方程为.（）圆C 必过定点（0，1）和（2，1）证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边0120（b1）b0，右边0，所以圆C 必过定点（0，1）同理可证圆C 必过定点（2，1）
