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1、1. 共轭转置矩阵（1）定义矩阵A的共轭转置定义为：其中表示矩阵i行j列上的元素，表示标量的复共轭。这一定义也可以写作：其中是矩阵A的转置，表示对矩阵A中的元素取复共轭。在线性代数中，矩阵A的共轭转置矩阵往往用或 表示。（2）基本评注如果A的元素是实数，那么A*与A的转置AT相等。把复值方块矩阵视为复数的推广，以及把共轭转置视为共轭复数的推广通常是非常有用的。 元素为的方块矩阵A称为：l 埃尔米特矩阵或自伴矩阵，如果A = A*，也就是说， ；l 斜埃尔米特矩阵或反埃尔米特矩阵，如果A = A*，也就是说， ；l 正规矩阵，如果。l 即使A不是方块矩阵，A*A和AA*仍然是埃尔米特矩阵和半正定
2、矩阵。（3） 性质l 若矩阵A、B维数相同，则(A + B)* = A* + B*。l (rA)* = r*A*，其中r为复数，r*为r的复共轭。l (AB)* = B*A*，其中A为m行n列的矩阵，B为n行p列矩阵。l (A*)* = Al 若A为方阵，则det(A*) = (det A)*，且tr(A*) = (tr A)*l A是可逆矩阵， 当且仅当 A*可逆，且有l A*的特征值是A的特征值的复共轭。l = ，其中A为m行n列的矩阵，复向量x为n维列向量，复向量y为m维列向量，为复数的内积。2. 奇异值（1）奇异值的定义设,且的特征值为称为矩阵的正奇异值，简称奇异值。说明：A的正奇异值
3、个数恰等于，并且与有相同的奇异值。（2）引理、补充l 引理1 ：设，与的特征值均为非负实数。l 引理2：设，则。l 设，对于Hermite 矩阵，设，有r个非0特征值，分别记为，则l 即与非0特征值相同，并且非零特征值的个数为。l 酉矩阵：指的是n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基,则U是酉矩阵。一个简单的充分必要判别准则是方阵U的转置共扼距阵乘以U 等于单位阵，则U是酉矩阵。l 标准正交基：若向量空间的基是正交向量组，则称其为向量空间的正交基，若正向向量组的每个向量都是单位向量，则称其为向量空间的标准正交基。3. 奇异值分解（1）奇异值分解定理：设是的正奇异值，则存在阶酉矩阵及阶酉矩阵，使 或 其中，则该式称为矩阵的奇异值分解。 称为矩阵的酉等价标准型。推论： 在矩阵A的奇异值分解中，U的列向量为的特征向量， V的列向量为的特征向量。（2） 奇异值分解方法法一：利用矩阵求解1】 求矩阵的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵；2】 记3】 令 4】 扩充 为酉矩阵5】 构造奇异值分解 法二： 利用矩阵求解1】 先求矩阵的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵；2】 记3】 令 4】 扩充为酉矩阵 5】 构造奇异值分解 （3）奇异值分解的应用见另外的文档
