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1、直角三角形期末复习一、内容综述： （）三角函数间的关系 1.同角的三角函数间的关系 （1）平方关系 sin2A+cos2A=1. （2）倒数关系 tanAcotA=1. （3）商数关系 tanA=, cotA=. 2.互为余角的三角函数间的关系 sin(90-A)=cosA； cos(90-A)=sinA. tan(90-A)=cotA； cot(90-A)=tanA. （二）直角三角形中的边角关系 1.三边之间的关系 a2+b2=c2 (勾股定理) 2.锐角之间的关系 A+B=90 3.边角之间的关系 sinA=cosB=；cosA=sinB=； tanA=cotB=；cotA=tanB=.
2、 二、例题精选： 例1.如图，已知ABC=BCD=90，AB=6, sinA=, CD=12.求：D的四个三角函数值。 分析：由可解的RtABC中解出公共边BC的值，为解RtBCD提供条件，从而可求出D的四个三角函数之值。 解：在RtABC中，ABC=90， sinA=, 设BC=4x, AC=5x,由勾股定理，得 62+(4x)2=(5x)2 解得x=2, x=-2(舍去) BC=4x=42=8. 在RtBCD中，由勾股定理，得BD=4， sinD=, cosD=, tanD=, cotD=. 例2.如图，在RtABC中，设BC=a, AC=b, AB=c,已知C=90，b=8,A的平分线A
3、D=，求B及a、c的值。 分析：本题以具有两个已知条件的RtACD作为突破口。在已知条件较多、且图形比较复杂时，往往从具备一定条件的直角三角形入手是解题的基本方法。 解：在RtACD中，AC=8，AD=， cosDAC=, DAC=30, 又 AD平分A， BAC=60, B=30, c=AB=2AC=16. 故a=csinBAC =16sin60=8. 例3.已知a,b,c为ABC中三个内角A，B，C的对边，当m0时，关于x的方程b(x2+m)+c(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根，且sinCcosA-cosCsinA=0，试判断ABC的形状。 分析：判断三角形的形状，就是要从已知条
4、件中找出边的关系或者角的关系。 解：由原方程，得(b+c)x2-2ax+bm-cm=0 =0. 4a2m-4(b+c)(b-c)m=0 a2-b2+c2=0, 即b2=a2+c2, 故ABC为直角三角形，B=90, sinCcosA-cosCsinA=0, =, 即=， =， a2=c2, a=c. 故ABC是等腰直角三角形。 例4.如果tan=2, 求之值。 分析：把原式化成tan的组合表达式，然后以tan=2代入求值。 解：=. 例5.如图，已知：在ABC中，A=30，B=45，AB=10(1+)，求AC、BC。 分析：这是一个一般三角形，可过点C作CDAB于D，则把这个三角形分割成两个直
5、角三角形。而且这两个直角三角形是具有一条公共边和一个特殊角的直角三角形，于是可使问题解决。 解法1：过点C作CDAB于D,令CD=x, 则BD=x, A=30，B=45, BC=x, AD=x, AC=2x, 又 AB=10(1+)， AD+BD=x+x=10(1+)，故x=10. CD=BD=10, AC=20, BC=10. 解法2：令BC=x, 则CD=BD=x, AD=x, AC=x. 有AD+BD=x+x=10(1+). 解之x=10即BC=10。 AC=x=20. 解法3：令AC=x, 则CD=BD=，AD=x, BC=x. 有AD+BD=x+=10(1+). 解之x=20，即AC
6、=20。BC=x=10. 说明：（1）对于这类问题都可以采用作高的方法，把ABC分割成两个含特殊角的直角三角形来解。或者，我们换一种说法，可以认为使两个特殊直角三角形的一条直角边重合，构造出一个新的三角形。（2）当图形中有几个直角三角形时，可以根据解题的需要，适当的设未知数，使图中的几个直角三角形都能与所设的未知数建立联系，从而应用方程来解决问题。通过上述三种解法的比较，我们又可以发现法1较简单，也就是说设最小角所对边为x，所得方程最简便。另外，对于这样具有两个特殊角的三角形，还可以有以下三种情况，如图所示。 例6.已知渔船由西向东捕鱼，在B处看到A岛的方位角是北偏东60，由西向东航行了100
7、米到C处，看到A岛的方位角为北偏东30，已知在A岛周围140米内有暗礁，而鱼群还是由西向东逃走，问渔船能否继续由西向东追捕？ 分析：正确画出图形，如图，这是一个实际问题，关键是求A岛到直线BC的距离，过A作AMBC交BC的延长线于M，则公共边AM成为连接两个RTABM，RTACM的桥梁。 解：依题意画图如图所示， 过A作AMBC交BC的延长线于M， ABC=30，ACM=60， 设AM=x, 在RtABM中，tanABC=. BM=x， 同理在RtACM中，tanACM=tan60=. CM=x. 由BM=BC+CM及BC=100， 100+x=x. 即x=150. AM=150米140米，即船继续向西走不会触礁。 说明：本题是个实际问题，构造直角三角形是关键，另外，方位角的概念要清楚。 用心爱心专心
