2021年全国乙卷理科数学高考真题(Word档含答案)

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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国乙卷)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=( ).A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i2.已知集合S=s|s=2n+1,nZ,T=t|t=4

2、n+1,nZ,则ST=( )A. B.S C.T D.Z3.已知命题p:xR,sinx1;命题q:xR,e|x|1,则下列命题中为真命题的是( )A.pqB.pqC.pqD.(pVq)4.设函数f(x)=1-x1+x,则下列函数中为奇函数的是( )A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )A.2B. 3C. 4D. 66.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配

3、方案共有( )A.60种B.120种C.240种D.480种7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移3个单位长度,得到函数y=sin(x-4)的图像,则f(x)=( )A.sin(x2-712)B. sin(x2+12)C. sin(2x-712)D. sin(2x+12)8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于74的概率为( )A. 74 B. 2332 C. 932 D. 299.魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海盗的高。如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平

4、面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=( ).A:表高表距表目距的差+表高B:表高表距表目距的差-表高C:表高表距表目距的差+表距D:表高表距表目距的差-表距10.设a0,若x=a为函数fx=ax-a2x-b的极大值点,则( ).A:abB:abC:aba2D:aba211.设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足PB2b,则C的离心率的取值范围是( ).A:22,1B:12,1C:0,22D:0,1212.设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=1.0

5、4-1,则( ).A:abcB:bcaC:bacD:cab二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线C:x2m-y2=1(m0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为 .14.已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-b)b,则= 。15.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60,a2+c2=3ac,则b= .16.以图为正视图和俯视图,在图中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题

6、为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)某厂研究了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为s12和s22(1) 求x,y, s12,s22;(2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧

7、设备是否有显著提高(如果y-x2s12+s222,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).18.(12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PBAM,(1) 求BC;(2) 求二面角A-PM-B的正弦值。19.(12分)记Sn为数列an的前n项和,bn为数列Sn的前n项和,已知2Sn+1bn=2.(1) 证明:数列bn是等差数列;(2) 求an的通项公式.20.(12分)设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点。(1) 求a;(2) 设函数g(x)=x+f(x)xf(x

8、),证明:g(x)1.21.(12 分)己知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求PAB的最大值.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.选修4一4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,C的圆心为C(2,1),半径为1.(1)写出C的一个参数方程;的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过点F(4,1)作C的两条切线, 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条直线的极坐标方程.

9、23.选修4一5:不等式选讲(10分)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.(1)当a=1时,求不等式f(x)6的解集;(2)若f(x) a ,求a的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷(参考答案)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回1-5 CCABD 6-10 CBBAD11-12 CB13.414.3515.2216.

10、或17.解:(1)各项所求值如下所示x=110(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0y=110(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3s12=110x (9.7-10.0)2 + 2 x (9.8-10.0)2 + (9.9-10.0)2 + 2 X (10.0-10.0)2 + (10.1-10.0)2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2 = 0.36,s22=110 x (10.0-10.3)2 +3 x (10.1-10.3)2

11、 +(10.3-10.3)2 +2 x (10.4-10.3)2+2 x (10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2 = 0.4.(2)由(1)中数据得y-x=0.3,2s12+s22100.34显然y-x2s12+s2210,所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。18.解:(1)因为PD平面ABCD,且矩形ABCD中,ADDC,所以以DA, DC, DP分别为x,y,z轴正方向,D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。设BC=t,A(t,0,0),B(t,1,0),M(t2,1,0),P(0,0,1),所以PB=(t,1,-1),AM=(-12,1,0),因为P

12、BAM,所以PBAM=-t22+1=0,所以t=2,所以BC=2。(2)设平面APM的一个法向量为m=(x,y,z),由于AP=(-2,0,1),则mAP=-2x+z=0mAM=-22x+y=0令x=2,得m=(2,1,2)。设平面PMB的一个法向量为n=(xt,yt,zt),则nCB=2xt=0nPB=2xt+yt-zt=0令yt=1,得n=(0,1,1).所以cos(m,n)=mnm|n|=37 2=31414,所以二面角A-PM-B的正弦值为7014.19.(1)由已知2Sn+1bn=2,则bnbn+1=Sn(n2)2bn-1bn+1bn=22bn-1+2=2bnbn-bn-1=12(n

13、2),b1=32故bn是以32为首项,12为公差的等差数列。(2)由(1)知bn=32+(n-1)12=n+22,则2Sn+2n+2=2Sn=n+2n+1n=1时,a1=S1=32n2时,an=Sn-Sn-1=n+2n+1-n+1n=-1n(n+1)故an=32,n=1-1nn+1,n220.(1)xf(x)=xf(x)+xf(x)当x=0时,xf(x)=f(0)=lna=0,所以a=1(2)由f(x)=ln(1-x),得x1当0x1时,f(x)=ln(1-x)0,xf(x)0;当x0时,f(x)=ln(1-x)0,xf(x)0故即证x+f(x)xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)

14、0令1-x=t(t0且t1),x=1-t,即证1-t+lnt-(1-t)lnt0令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,则f(t)=-1-1t-(-1)lnt+1-tt=-1+1t+lnt-1-tt=lnt所以f(t)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,故f(t)f(1)=0,得证。21.解:(1)焦点F0,P2到x2+y+42=1的最短距离为P2+3=4,所以p=2.(2)抛物线y=14x2,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则lPA=y=12x1x-1+y1=12x1X-14x12=12x1x-y1,lPB:y=12x2x-y2,且x02=-y02-8y0-15.lPA, lPB都过点P(x0,y0),则y0=12x1x0-y1,y0=12x2x0-y2,故lAB:y0=12x0x-y,即y=12x0x-y0.联立y=12x0x-y0x2=4y,得x2-2x0x+4y0=0,=4x02-16y0.所以AB=1+x0244x02-16y0=4+x02x02-4y0 ,dPAB=x02-4y0x02+4,所以SPAB=12ABdPAB=12x02-4y0x02-4y0=12x42-4y032=12-y02-12y

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