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1、我旗Z理2尊Wuhan Institute of Technology武汉工程大学弹性力学课程简支梁应力分析报告专业：XXXXXXXX 班级：XXXXXXXX 姓名：XXX学号：XXXXXXXX【摘要】此简支梁应力分析报告中，主要针对简支梁受线性载荷作用 时的应力进行分析。通过引用三角级数法求解弹性力学平面问题，同 时运用材料力学方法求解，对比两种方法所求解的结果，从而验证三 角级数求解法的可行性与精确性。【关键字】矩形截面简支梁应力分析、三角级数、荷载函数、mdtlab应用软件、应力函数【引言】用多项式作为应力函数求解弹性力学问题，是有局限性的, 它必须要求物体的主要边界上的载荷是连续分布的
2、，而且能表示成 代数多项式的形式。在这样的情况下，才能逐点满足主要边界上的 条件，并整体地满足次要（端部）边界的条件。如果载荷在主要边界上不是连续的，而且分布规律不能用代数整函 数来表示。那么，可以用三角级数来表示。为此，必须将表示载荷 的函数展开为三角级数，取级数的前几项，对其中的每一项求出解 答，然后将结果叠加。这样，可以得到很接近于问题的真实解的近 似解。、载荷函数的展开。将载荷函数展开为三角级数，就是用一系列按 正弦规律或余弦规律沿全梁分布的载荷来代替不连续或其它任意形 式的载荷，这种处理方法在工程实际问题中是很有效的。又由于三 角级数收敛较快，可以只取级数的前几项就能得到满意的结果。
3、一、实际问题：矩形截面简支梁所受荷载如图一所示，已知梁的跨度为L,高度为h,设梁的厚度为一个长度单位，试用三角级数求解简支梁的应力分量2qix二、弹性力学方法求解应力分量(0x/2) 简支梁的荷载函数为:r/(x) = _ f 1 “2 (儿2)(/2x/)在上下两边，正应力的边界条件是剪应力的边界条件是(rvy)y = O = 0,在左右两端，正应力的边界条件是(CK).v = o = O(CK).v = o = 0 o剪应力应当合成为反力，即(4)将载荷函数展开为三角级数，就是用一系列按正弦规律或余 弦规律沿全梁分布的载荷来代替不连续的或其它任意形式的载 荷，这种处理方法在工程实际问题中是
4、很有效的。又由于三角级 数收敛较快，可以只取级数的前几项就可以得到满意的结果。从 弹性力学中可以得到下列应力函数的级数表达式（5）：=sin用（&“ + 込）shy + （盅 + ）chamy 6-1仏5x j2D+ 2）必刃+ 工亿；cosnych 码H17TIII带入边界条件（2）及（1）,得到丸cos坯+丄D”） = 0 角Im兀(7)(2加加小/厂、m/di /人 7 COS(Dm HCm)shF ( A？铝l加龙IIf. m/dif, m 7th小,m7di门+Dm)ch+ Dmysli+ CmychJ = 0iri7TIII(8)总罕斫心）(9)亍 d r n i7ixr A .
5、m/di n,厂 SillAmSn卜 BntI m=lII.in/di-. m/di小.ni7dn八+ ch j + Cmysh + Dmych J = 0(10)由此可以得出求解系数九、G、2的方程，说明如下。式（7）和式（8）表示它们左边的三角级数恒等于0,因此，级数的系数都应当等于0,于是得Am +Dm = 0(11)4. niTVc门.m/di- z I. m/d iAmch + DmSn+ C”(shIIm7t Ii i ni7d iI . m 7th . i m 尬、n+ heli) + Dm(ch+ hsh) = 0/mn II为了从式（9）得出所需的方程，需将该式右边的q （x
6、） 在x=0至X=1的区间展位和左边相同的级数，即sm竽 的级 数。按照傅立叶级数的展开法则，我们有G(x) = f 彳q(x)sin罕乩sin罕。 /;?=! II与式（9）对比，即得耳S”+仙sin罕忆从而得出(13)Bm =刀、g(x) sin dx.m 分Jo1依题意及所给图形可求得Bm 21 ri z、. m7ix .2/2ciix . niTDc . J2cj2(x -1 / 2) . m7ix .二拧4十池d拥/2血厂sm乩_ 4/2 z . m7t . mn、= 4 4 (t/isinqzsni + g：sinm7t)m 7t22(14)2/2m分(t/iCOSxnn+ qic
7、osniTr)同样可由式（10）得出.加加 n . m/di - . m亦 八.加加AniSIl + Dnll + CmSll + DniCH求出式（13）及式（14）右边的积分以后，既可以由（11）、（12）、（13）、（14）四式求得系数九、G、% ,从而求出应力分量。令式中矩阵:、1cK-j-)07加()0加加sh(-j-)1ch(-j-)0/. jnTdi . . jnrdish() + hch() m/r II0/八加加、hsh()IH7TI fj nTd iI “ 尬、ch() + hsh() IH7T II07 7加hch()向量：A = Am 向量：4/2b=0,0,4 4(
8、= : =- y )(2)同理可求得，当|A/时，各处的应力分量为y41 f-3qi I2 + 3qi I2- 48牛(x -) Txy =2/ 3 -3qixl2 + 3qip + 3qzxl2 - 24qz (x) 6= 2所以通过上式即可以求得各点处的应力分量。四、采用级数方法求解应力分量为了用三角级数求解简便确定应力的值，首先我们取某一固定的 点设 l=10mm, h=lmm, q、= 4NIni, qi = 6N/m ,取坐标为 x=4mm, V=0.2nun的固定点，代入相应的值通过matlab确定m的值，随着m 的增大，叠加项逐渐增加，误差越来越小，当误差小于某一微小量时, 我们
9、此时可以认为叠加的项数满足工程的要求，下表为正应力、切应 力随m值的变化情况表(m=l,2,324)m值123456正应力6 (Mpa)77.277677. 283777.278077.283177.278377.2826切应力励(Mpa)13.998714. 013213.999814. 012414. 001014.0116m值789101112正应力6 (Mpa)77.278477. 282477.278877.282177.278877.2819切应力怎(Mpa)14.001914.011014. 002714. 010214.003614.0097m值131415161718正应力6
10、 (Mpa)77.279077. 281777.279277.281577.279477.2813切应力(Mpa)14. 004214. 009214. 005014. 008714. 005814.0084m值192021222324正应力6 (Mpa)77.279677. 280977.279677.280577.279877.2803切应力(Mpa)14. 006214. 007914.007014.007414. 006714.0071将此固定点代入材料力学方法求解出的应力公式，可求得:6, = 77.2800 (Mpa) Txyy = 14.0070 (Mpa)与上述表格中的数据相对比，不难发现当m值越大时应力值越接近于料力学方法求解出的应力值，当m二24时，计算
