《空间几何体的表面积和体积.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间几何体的表面积和体积.docx（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积典例解析题型1：柱体的体积和表面积1一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得：由（2）2得：（3）由（3）（1）得即所以。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。2如图1所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。（1）求证：顶点A1在底
2、面ABCD上的射影O在BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。图1 图2解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O底面ABCD。作OMAB交AB于M，作ONAD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1MAB，A1NAD。A1AM=A1AN，RtA1NARtA1MA,A1M=A1N，从而OM=ON。点O在BAD的平分线上。（2）AM=AA1cos=3=AO=。又在RtAOA1中，A1O2=AA12 AO2=9=，A1O=，平行六面体的体积为。题型2：柱体的表面积、体积综合问题3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（）A2B3C6 D解析：设长方体共一顶点
3、的三边长分别为a=1，b，c，则对角线l的长为；答案D。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。4如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1V2= _。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2Sh。E、F分别为AB、AC的中点，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型3：锥体的体积和表面积5在四棱
4、锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥PABCD的体积？解：（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO平面ABCD,得PBO是PB与平面ABCD所成的角，PBO=60。在RtAOB中BO=ABsin30=1, 由POBO，于是PO=BOtan60=，而底面菱形的面积为2。四棱锥PABCD的体积V=2=2。点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。6在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，且AC=BC=5，SB=。（如图所示）（）证明
5、：SCBC；（）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（）求三棱锥的体积V SAB C。解析：（）证明：SAB=SAC=90，SAAB，SAA C。又ABAC=A，SA平面AB C。由于ACB=90，即BCAC，由三垂线定理，得SCBC。（）解：BCAC，SCBC。SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。在RtSCB中，BC=5，SB=5，得SC=10。在RtSAC中AC=5，SC=10，cos SCA=，SCA=60，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60。（）解：在RtSAC中，SA=，SABC=ACBC=55=，V SABC=SACBSA=。点评：本题比较全面地考
6、查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。题型4：锥体体积、表面积综合问题7ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC2，求点B到平面EFC的距离？解：如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥BEFG。设点B到平面EFG的距离为h，BD，EF，CO。而GC平面ABCD，且GC2。由，得点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。8如
7、图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥A EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）AS1CS1=S2 DS1，S2的大小关系不能确定解：连OA、OB、OC、OD，则V ABEFDV OABDV OABEV OBEFDV AEFCV OADCV OAECV OEFC又V ABEFDV AEFC，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABDS ABES BEFDS ADCS AECS EFC又面AEF公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程
8、，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。题型5：棱台的体积、面积及其综合问题9如图，在多面体ABCDA1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且ac ，bd，两底面间的距离为h。（）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；（）证明：EF面ABCD；（）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面h来计算.已知它的体积公式是V=（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明。
9、（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）（）解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1GPQ，垂足为G。如图所示：平面ABCD平面A1B1C1D1，A1B1C1=90，ABPQ，ABB1P.B1PG为所求二面角的平面角.过C1作C1HPQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形。PG=（bd），又B1G=h，tan B1PG=（bd），B1PG=arctan，即所求二面角的大小为arctan.（）证明：AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有ABCD，又CD是面ABCD与面CDEF的交线，AB面CDE
10、F。EF是面ABFE与面CDEF的交线，ABEF。AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，EF面ABC D。（）V估V。证明：ac，bd，VV估=2cd+2ab+2（a+c）（b+d）3（a+c）（b+d）=（ac）（bd）0。V估V。点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。考查了考生继续学习的潜能。10（1）如果棱台的两底面积分别是S、S，中截面的面积是S0，那么（）ABC2S0SSDS02
11、2SS（2）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（）A32B28C24D20解析：（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；（2）正六棱台上下底面面积分别为：S上6226，S下64224，V台，答案B。点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用特例法来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。题型6：圆柱的体积、表面积及其综合问题11一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）ABCD解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2r.S全=2r2+（2r）2=2r2（1+2）.S侧=
12、h2=42r2，。答案为A。点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。12如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=_。解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加R2r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3=R2r。故。答案为。点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。题型7：圆锥的体积、表面积及综合问题13（1）在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120（如图所示），若将ABC绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）ABCD（2）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则
13、这个圆锥的全面积是（）A3B3C6D9解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥CADE与圆锥BADE体积之差，又求得AB=1。，答案D。（2）Sab sin，a2sin60，a24，a2，a=2r，r1，S全2rr223，答案A。点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。14如图所示，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（）ABCD解析：如图所示，由题意知，r2hR2h，又ABOCAO，OA2rR，答案为D。点评：本题重点考
14、查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。题型8：球的体积、表面积15已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积。解：设截面圆心为，连结，设球半径为，则，在中，。点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。16如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,AB=BC=CA=a,且P在ABC内的射影即是ABC的中心O。由正弦定理，得=2r,r=a。又根据球的截面的性质，有OO平面ABC，而PO平面ABC，P、O、O共线，球的半径R=。又PO=a，OO=R a=d=,(Ra)2=R2 (a)2，
