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1、高考压轴题中的放缩法与构造法(数列与不等式、函数与不等式) 总的来说,高考中与不等式有关的大题（重要是证明题）一般常用均值不等式、构造函数后用导数工具、裂项相消等常用放缩法来解决证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而布满思考性和挑战性，能全面而综合地考察学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材. 此类问题的求解方略往往是:通过多角度观测所给数列通项的构造，进一步剖析其特性,抓住其规律进行恰本地放缩;其放缩技巧重要有如下几种:如下的所有放缩法中裂项相消法、均值不等式法放缩、二项分布法放缩以及函数放缩法最常用必须掌握,因此要先看这些措
2、施其她的措施,如果有精力的话可以理解一下如果真的掌握不了也足以应付高考.一、裂项放缩【例】（1)求的值;()求证：【解析】（1)，.（2）,【常用放缩技巧】（)；(）;（）();（4）;（5);（6）;(7）；（8）；(9)，;(10）；（11);(12)（）;（13） ；(4);(1）;（16）（）;（）.【例2】（1)求证:(）；()求证:；（)求证:;(4)求证:.【解析】（1）,;(）;(3）先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案;(4）一方面，容易通过裂项得到;再证，而由均值不等式懂得这是显然成立的,.【例】求证:【解析】 一方面:,;另一方面：;当时,，当时，,
3、当时,，综上有.【例】(全国卷）设函数，数列满足,.设，整数.证明：.【解析】 由数学归纳法可以证明是递增数列，故存在正整数,使,则，否则若（），则由知：，,于是【例5】已知：、,，求证:【解析】 一方面可以证明:. ,要证：，只要证:；故只要证:,即等价于，即等价于,，而正是成立的，原命题成立【例6】已知：，,求证：【解析】 ，;从而.【例7】已知：，求证:（）.【解析】 ,()二、函数放缩【例8】求证:（).【解析】 先构造函数由，从而;,.【例9】求证：,（）【解析】 构造函数,得到，再进行裂项,求和后可以得到答案;或函数构造形式:,()【例1】求证:【解析】 提示：函数构造形式：，.
4、固然本题的证明还可以运用积分放缩：如图,取函数. 一方面:,从而,取有，,有、，相加后可以得到:；另一方面,从而有,取有,有,综上有【例11】求证：和.【解析】 构造函数后即可证明.【例12】求证:【解析】 ,叠加之后就可以得到答案. 函数构造形式：()(）(加强命题)【例3】证明:（，).【解析】 构造函数(），求导可以得到：，令,有，令，有,，令有,，（,).【例4】已知,证明：【解析】 ，然后两边取自然对数,可以得到,然后运用和裂项可以得到答案. 放缩思路：.于是，,即. 注：题目所给条件（)为一有用结论,可以起到提示思路与摸索放缩方向的作用;固然,本题还可用结论（)来放缩:,即.【例1
5、5】（厦门市质检)已知函数是在上到处可导的函数,若在上恒成立(1）求证:函数在上是增函数;()当,时,证明:；（）已知不等式在且时恒成立,求证：().【解析】（）,函数在上是增函数;(2)在上是增函数,;,两式相加后可以得到（3）【措施一】；相加后可以得到:,；令,有,(). 【措施二】,，又,(）【例6】（福州市质检）已知函数若，,证明:.【解析】 设函数（),，令,则有，函数在上单调递增，在上单调递减,的最小值为，即总有;而，,即，令，,则，,.三、分式放缩 姐妹不等式：(,)和(，）；记忆口诀“小者小,大者大”;解释:看的大小,若小,则不等号是不不小于号，反之【例19】姐妹不等式:和，也
6、可以表达到为:和.【解析】 运用假分数的一种性质（,)可得:，即.【例20】证明：.【解析】 运用两次次分式放缩：(加1)；(加）;两式相乘可以得到：，有.四、分类放缩【例21】求证:.【解析】 【例22】(全国高中数学联赛加试改编）在平面直角坐标系中，轴正半轴上的点列与曲线(）上的点列满足，直线在轴上的截距为.点的横坐标为，(1)证明：，；（)证明有，使得对均有.【解析】(1)依题设有：,由得：,又直线在轴上的截距为满足,，,显然,对于,有（2)证明：设，则；设,则当时,.，取，对均有：;故有,b，求证：【解析】 +b=，0，b0,可觉得成等差数列,设，从而【例47】设,求证【解析】 观测的
7、构造,注意到，展开得:，即，得证【例48】求证：【解析】 参见上面的措施,但愿读者自己尝试!【例49】（北京海淀5月练习)已知函数,满足：对任意,均有；对任意均有.（1)试证明：为上的单调增函数；()求；（3）令,试证明：.【解析】(1)运用抽象函数的性质判断单调性:，可以得到，也就是，不妨设，可以得到,也就是说为上的单调增函数.（)此问的难度较大，要完全解决出来需要一定的能力！一方面我们发现条件不是很足，尝试摸索看看按（1）中的不等式可以不可以得到什么结论，一发现就有思路了！由（1）可知：，令，则可以得到：,又，由不等式可以得到,又，可以得到.接下来要运用迭代的思想:,，；，.在此比较有技巧的措施就是:,可以判断;固然，在这里也许不容易一下子发现这个结论,还可以列项的措施，把所有项数尽量地列出来,然后就可以得到结论，综合有=（3)在解决的通项公式时也会遇到困难,数列的方程为，从而一方面,;另一方面,综上有.【例50】已知函数的定义域为0，1,且满足下列条件:对于任意0，1,总有,且；若，则有(）求f（0）的值;（2)求证:f(x）；(3）当时,试证明：【解析】（）令,由对于任意0,，总有，,又由得即，.（2)任取且设,则,，即,当0，时，（3
