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1、理解运算求解能力促进高三数学复习理解“运算求解能力”促使高三数学复习江苏省扬中高级中学刘新春一、前言高考制度不改革，不 除高考，数学就 是 在高考的 口浪尖上，高考数学 几乎离不开运算，早在 1998 年任子朝先生在高考数学能力考 与 型 一 中就指出：“运算量的大小以 40 的考生在 120 分 内能达成全卷的解答 准”，而近几年江 卷 10 的考生都达不到，正确求解填空 与解答 的 ， 更是百里挑一、万里挑一，运算能力的培育成 高考成 的决定性因素，因 运算失 致高考失 ，改 一世命运成 部分考生永 的痛，今日我就高考数学复 中的运算求解能力培育抛 引玉， 一些 和领会，敬 各位批 指正，
2、本 座主要参照任子朝先生主 的高考数学能力考 与 型 一 及川大附中周祝先老 的 座 中学数学运算的 ，同 获得省 高中 惠荣、卞国文、 昌荣等老 的指 帮助，在此一并感 。二、目前运算能力培育的 状1. 初中 程改革弱化了运算能力要求。（十字相乘法等乘法公式、因式分解、代数恒等 形、 达定理、比率、平面几何 减）2. 算器的宽泛使用削弱了运算意 和技术。3. 高中数学教课突出了知 模 弱化了运算教课、淡化了运算 意 ，没有 上初中去掉而高考又必考的一些运算内容，江 省高中数学教课要乞降教课参照 也极少说起运算要求，如 教版教课参照 （必修2）第 2 章平面分析几何初步说起本章教育目 8，在知
3、 和观点的形成 程中，培育学生的合情推理能力，数学沟通能力，探究能力和 思 能力，惟独不 运算求解能力；而在 修 1-1 、2-1 曲 一章也同 只字不提运算求解能力， 致部分教 在 教课中重 知 教课和解 思想、方法， 运算 程，自己 研解 不 ， 解 程中的运算算理、算法不甚认识，没法有效、高效地指 学生。4. 学生不明算理、机械套用运算公式，不 运算目 ， 行盲目的推理演1算，运算过程中缺少选择合理、简捷的运算门路的意识，运算过程繁琐，错误率高，对运算求解能力的内涵缺少科学认识，误认为是“粗心”、“粗心”造成运算错误，平常复习解题认为“只需方法对，做错了不重要”。主要问题有：观点模糊不清
4、（新增内容尤甚）学生简单因观点模糊而运算失误。公式、性质记忆不正确.不会娴熟进行顺向等价变形，逆向回代、。数据办理能力差（计算、排序、挑选、分类等）.数学语言可是关，致使阅读习惯差，阅读能力差,运算无从下手 .代数恒等变形惯例方法不娴熟.辨别、驾御图表的能力差.算法意识差，算理不清，对运算问题缺少检验、反省、总结的意识 . 审题不认真、表达能力差、书写不规范。运算习惯差，急于求成，粗枝大叶，说一套做一套, 内心想的和手上写的不一致 .心理素质差，演绎了从“不喜爱”到“惧怕”到“惧怕”的运算悲.剧5. 高考对运算能力的考察力度不降反升，只管有人坚持“多考想、少考算” ，但“怎样想，”很难有操作性
5、的考察方法，何况江苏卷近几年的运算要求向来很高，因为考察运算求解能力是提高划分度的重要手段，且考察运算比较简单操作。三、理解运算求解能力数学能力是一种个性心理，它对数学活动的进度方式起着直接的、稳固的调理作用，数学能力是数学素质在数学活动中的外化，高考考察的数学能力主要包含空间想象、抽象归纳、推理论证、运算求解、数据办理等能力，此中运算求解能力的考察要求是：能够依据法例、公式进行运算及变形；能够依据问题的条件与目标找寻与设计合理简捷的运算门路；能够依据要求对数据进行预计和近似计算。要正确理解运算求解能力，一定弄清以下几个问题：1. 高中阶段常有运算形式：数的四则运算（含复数运算）代数式的运算（
6、法例、运算律）2幂、指、对数运算三角运算向量运算导数运算极限运算（非高考内容）方程与不等式运算（重申算法）概率运算（10 ）矩阵运算（ 11）抽象运算2. 运算的方法与技术要求：能否记着数学计算公式、法例，并能正确地运用公式和法例进行运算可否应用观点、性质、定理进行有关的运算可否在进行各样运算时，结果正确、速度快速、过程合理可否进行各样查表和使用计算器计算（高考不要求）3. 运算的逻辑思想要求：能否合理使用公式、法例运算方法和过程能否简捷可否对自己的运算结果进行检检验算和判断可否自我更正运算中的各种错误可否简化运算过程，运用简缩思想进行“跳步”运算（填空题）可否较娴熟地进行默算、速算、估量能否
7、会进行推理计算4. 运算求解能力的五个因素： .运算的正确运算的正确是对运算能力的基本要求，在运算求解过程中使用的观点要正确无误，使用的公式要正确无误，使用的法例要正确无误，运算的结果正确无误。例 1.2009 年江苏高考试题第13 题。3如 ，在平面直角坐 系xOy 中， A1 , A2 , B1, B2x2y21(a b 0) 的四个22ab 点， F 其右焦点，直 A1B2与直 B1F订交于点 T ， 段恰 段 OT 的中点， 的离心率.解：由已知条件可得：OT 与 的交点 MyTB2M直 A1B2 的方程 xy1 ab直 B1F 的方程 xy1 cb2ac , b( ac) ) 立可得
8、两直 交点中的坐 : (acac 段 OT 的中点 M 的坐 : ( ac, b(ac) ) ,代入 a c 2( ac)得: 4c2( a c)24(a c)2 ，即得： e210e30 ，A1x2 y2 a2 b2OFA2xB11可解之得：e5 2 7，e (0,1) ，2 7 5.e在本 中，运算的目 是求离心率，运算程序是先求直 A1 B2 和 B1F 的交点，再由中点公式获得M 点的坐 ，代入 方程获得对于a, b,c 的方程化 对于离心率 e 的方程进而求解出 e 的 .要修业生 运算 程中的每一步都必 正确无 才能获得正确的 果， 度大，属于 。 .运算的熟 运算的熟 是 考生思
9、 矫捷性的考 ，运算速度的快慢与定理、公式、 掌握的熟 程度直接有关，熟 掌握各样公式、定理以及常用的恒等 形，熟 掌握一些常用的运算方法， 一些必需的 充公式和 ， 提高运算熟 程度是有利的。例 2.1996 年全国考 ：等差数列 an 的前 m 和 30，前2m 的和 100， 它的前 3m 的和 .法一：由已知条件列出对于a1 和 d 的方程 ：ma1m(m 1) d3010( ma12，解之得：m22m(2 m1)402ma12d 100dm22)， 而求得： S3 m 3ma13m(3m1)10(m2)3m(3m1)40.2d 3mm22m22104假如学生对数式的恒等变形比较娴熟，
10、则可用此法求出结果，但最一般的方法不必定是最优的方法。法二：易知等差数列连续相等项的和所构成的数列仍旧是等差数列，则运算量较小 .设前m项的和为S1，中间m项的和为S2，后m项和为S3 .则 S1Sm30 ， S2S2mSm70 ， S32S2S1110 ，S3mS1S2S3210 .本法娴熟运用等差数列的定义和性质，计算量变得很小。法三：从已知条件可知：结果与m 的取值没关，令 m1，得： S1a1 30 ， S2a1 a2 100 ，a270 ，a32a2a170 ，S3a1a2a3210 .法三则是娴熟运用简缩思想进行运算的结果。娴熟掌握常用的恒等变形，不单能够提高运算的速度，还能够获得
11、不一样的结论，如两角和与差的正切公式的各样变形，半角的余弦公式，余弦定理的各样变形。x2y21(a 0, b 0) 变形得 y2x2a2x2如椭圆方程的一种变形：22212a2，再变形为abbay2b2.这是一个风趣的结论：椭圆上异于长轴端点的任一点与长轴端点的x2a22a连 线 斜 率 之 积 为 定 值b2a2； 在 推 导 椭 圆 标 准 方 程 的 过 程 中 , 也 可 由( x c)2y2( x c) 2y22a 变形得：(xc)22y2c .这一过程揭露了第必定义| xa|ac与第二定义的等价性 .还能够把分子有理化进而计算出结构出二元方程组5而后两式相加得最后两边平方，化简得（
12、a2-c2）x2 +a2y2=a2 (a2-c2) .运算的合理运算的合理性是运算能力的核心，一般一个较复杂的运算，常常是由多个较简单的运算组合而成的，怎样合理确立运算目标？设计运算程序，选择运算途径，并将各部分有机地联系在一同？这是运算合理性的主要标记。运算的合理性表此刻运算要切合算理，算理即原因、道理、依照，运算过程中的每一步变形都要有依照、或依照观点，或依照运算法例和运算律，或依照公式，能够说运算的每一步变形都是演绎法的表现，都一定步步有理，高考对算理的考察是经过变形过程中的正误来表现的。运算的合理性表此刻运算目标确实定，难度较大的试题，其运算目标往常比较复杂，需要经过多步运算才能达到最
13、后结果，有时运算的目标模糊不可以确定。运算的合理性还表此刻运算门路的选择，合理选择运算门路不单是运算快速的需要，也是运算正确性的保证，是提高运算能力的关健，运算步骤越多、越繁琐、越简单犯错。一定灵巧运用公式、法例和有关的运算律，掌握同一个问题的多种运算方法和门路，并擅长经过察看、剖析、比较，作出合理的选择。运算求解的程序即算法、步骤，复杂的运算一定依照必定的算法实行，如解方程、解不等式就有比较明确规范的步骤，利用分析法解决几何问题也有清楚的步骤如建系、设点，把几何问题转变为代数问题、求解代数问题、回到几何问题验证等步骤例 . 已 在 等 比 数 列ann是 其 前 n 项 的 和 ， S531中 ， 已 知 S, a3， 则
