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1、【考点梳理】一、考试内容1.平面。平面的基本性质。平面图形直观图的画法。2.两条直线的位置关系。平行于同一条直线的两条直线互相平行。对应边分别平行的角。异面直线所成的角。两条异面直线互相垂直的概念。异面直线的公垂线及距离。3.直线和平面的位置关系。直线和平面平行的判定与性质。直线和平面垂直的判定与性质。点到平面的距离。斜线在平面上的射影。直线和平面所成的角。三垂线定理及其逆定理。4.两个平面的位置关系。平面平行的判定与性质。平行平面间的距离。二面角及其平面角。两个平面垂直的判定与性质。二、考试要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及
2、它们所成的角与距离的概念。对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化3.空间元素间的数量关系（1）角相交直线所成的角；异面
3、直线所成的角转化为相交直线所成的角；直线与平面所成的角斜线与斜线在平面内射影所成的角；二面角用二面角的平面角来度量。（2）距离两点之间的距离连接两点的线段长；点线距离点到垂足的距离；点面距离点到垂足的距离；平行线间的距离平行线上一点到另一直线的距离；异面直线间的距离公垂线在两条异面直线间的线段长；线面距离平行线上一点到平面的距离；面面距离平面上一点到另一平面的距离；球面上两点距离球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。四、思想方法1.用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。2.注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化。3.注意下面的转化关系：4.在直接证明有困难
4、时，可考虑间接证法，如同一法和反证法。5.求角与距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如下：（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。（3）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角，构造一个含的三角形，解三角形即可。方法二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找
5、到两条异面直线所成的角。（4）求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。（5）求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角的平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：根据定义作二面角的平面角；垂面法作二面角的平面角；利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角先作出棱后同上进行。间接法主要是投影法：即在一个平面上的图形面积为S，它在另一个平面上的投影面积为S，这两个平面的夹角为，则S=
6、Scos。求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。如求二面角，只有根据推理过程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。因此，求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。【例题解析】例1 如图7-1，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点。（1）求证：EFGF；（2）求证：MN平面EFGH；（3）若AB=2，求MN到平面EFGH的距离。解 （1）如图7-2，作GQB1C1于Q，连接FQ，则GQ平面A1B1C1D1，且Q为B1C1的中
7、点。在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EFFQ，由三垂线定理得EFGF。（2）连DG和EG。N为CL的中点，由正方形的对称性，N也为DG的中点。在DEG中，由三角形中位线性质得MNEG，又EG平面EFGH，MN平面EFGH，MN平面EFGH。（3）图7-3为图7-2的顶视图。连NH和NE。设N到平面EFGH的距离为h，VENGH=VNHEGAA1SNHG=hSHEG2=hEHHG又EH=,HG= =hh=例2 如图7-4，已知ABC中， ACB=90，CDAB，且AD=1，BD=2，ACD绕CD旋转至ACD，使点A与点B之间的距离AB=。（1
8、）求证：BA平面ACD；（2）求二面角ACDB的大小；（3）求异面直线AC与BD所成的角的余弦值。解 （1）CDAB，CDAD，CDDB，CD平面ABD，CDBA。又在ADB中，AD=1，DB=2，AB=，BAD=90，即BAAD，BA平面ACD。（2）CDDB，CDAD，BDA是二面角ACDB的平面角。又RtABD中，AD=1，BD=2，ADB=60，即 二面角ACDB为60。（3）过A作AEBD，在平面ABD中作DEAE于E，连CE，则CAE为AC与BD所成角。CD平面ABD，DEAE，AECE。EAAB，ADB=60，DAE=60，又AD=1，DEA=90，AE=又在RtACB中，AC=
9、AC=AC=RtCEA中，cosCAE=,即异面直线AC与BD所成角的余弦值为。例3 已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC。（1）求三棱锥PABC的体积V；（2）作出点A到平面PBC的垂线段AE，并求AE的长；（3）求二面角APCB的大小。解 （1）PA平面ABC，PB=PC，由射影定理得，AB=AC=4。PA平面ABC，PAAC。在RtPAC中，可求出PC=5。则PB=BC=5。取BC中点D，连AD。在等腰ABC中，求出底边上的高AD=。V=53=。 （2）连PD，则PDBC，又ADBC，BC平面PAD。又BC平面PBC，平面PAD平面PBC。作AEPD
10、于E，则AE平面PBC，AE为点A到平面PBC的垂线段。在RtPAD中，由PAAD=AEPD，得3=AE，求出AE=。（3）作AFPC于F，连EF，由三垂线定理逆定理，得EFPC，AFE为二面角APCB的平面角。在RtPAC中，由PAAC=PCAF，即34=5AF，求出AF=，sinAFE=，则AFE=arcsin。例4 如图7-7，已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB，AC均成45角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F。（1）求证：平面A1EF平面B1BCC1；（2）求点A到平面B1BCC1的距离；（3）当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC
11、1的距离相等？解 （1）已知A1EB1B于E，A1FC1C于F，且B1BC1C， B1BA1F。又A1EA1F=A1，B1B平面A1EF。平面A1EF平面B1BCC1。（2）因为A1B1B=A1AB=A1AC=A1C1C=45，A1B1=A1C1，A1EB1=A1FC1=90，A1B1=2，RtA1B1ERtA1C1F， A1E=A1F=，B1EC1F，EF=B1C1=2，A1E2+A1F2=EF2，A1EF为等腰直角三角形，取EF的中点N，连A1N，则A1NEF，A1N平面B1BCC1，A1N为点A1到平面B1BCC1的距离。又有A1N=EF=1，所以点A1到平面B1BCC1的距离为1。（3
12、）如图7-8，设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连AD，DD1和A1D1，则NDD1。DD1BB1AA1，A，A1，D，D1四点共面，ADA1D1，A1ADD1为平行四边形。B1C1A1D1，A1N平面BCC1B1，B1C1D1D，又B1C1A1N，B1C1平面ADD1A1，BC平面ADD1A1，平面A1ADD1平面ABC。作A1M平面ABC于M，则点M在AD上。若A1M=A1N，又A1AD=A1D1D，A1MA=A1ND1=90,则有RtA1MARtA1ND1，于是A1A=A1D1=。即当A1A=时，点A1到平面ABC和平面B1BCC1的距离相等。例5 如图7-9，已知：PD平面ABCD
13、，ADDC，ADBC，PDDCBC=11。（1）求PB与平面PDC所成角的大小；（2）求二面角DPBC的正切值；（3）若AD=BC，求证平面PAB平面PBC。解 （1）由PD平面ABCD，BC平面ABCD，得PDBC。由ADDC，ADBC，得BCDC。又PDDC=D，则BC平面PDC。所以BPC为直线PB与平面PDC所成的角。令PD=1，则DC=1，BC=，可求出PC=。由BC平面PDC，PC平面PDC，得BCPC。在RtPBC中，由PC=BC得BPC=45，即直线PB与平面PDC所成的角为45。（2）法一：如图7-10，取PC中点E，连DE， 则DEPC。由BC平面PDC，BC平面PBC，得
14、平面PDC平面PBC。则DE平面PBC。作EFPB于F，连DF，由三垂线定理，得DFPB。则DFE为二面角DPBC的平面角。在RtPDC中，求得DE=。在RtPFE中，求得EF=。在RtDEF中，tanDFE=。即二面角DPBC的正切值为。 法二：由PD平面ABCD，PD平面PDB，得平面PDB平面ABCD。如图7-11，作CHBD于H，则CH平面PDB。作HFPB于F，连CF，由三垂线定理得CFPB。则CFH为二面角DPBC的平面角。在等腰RtPBC中，求出斜边上的中线CF=1。在RtDBC中，求出DB=，可进一步求出斜边上的高CH=。在RtFHC中，求出HF=，tanHFC=，即二面角DPBC的正切值是。（3）如图7-12，取PB中点
