第二章质点动力学(2).doc

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1、 第十章 机械振动第十章 机械振动本章前言 本章学习目标1、理解什么是简谐振动，理解描述简揩振动的几种方法。2、掌握简揩振动的基本规律。3、理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成。 本章教学内容1、简谐振动、简谐振动的运动学方程1.1 简谐振动、简谐振动的运动学方程1.2 振幅、频率、相位1.3 简谐振动的速度和加速度2、简谐振动的旋转矢量表示法3、简谐振动的能量4、同方向同频率简谐振动的合成 本章重点相位概念的理解及掌握简揩振动的基本规律。同方向同频率简谐振动的合成。 本章难点相位概念的理解。 10.1 简谐振动的运动学方程10.1.1 简谐振动一、振动的概念所谓振动是指物理量在某一个数值附

2、近来回往复的变化。绝大多数物理量都能实现振动。最常见的是力学量和电磁学量的振动。如位置、速度、加速度的振动，力、动量和能量等力学量的振动，统称为机械振动；如电流、电压、电功率、电磁场等电磁学量的振动，统称为电磁震荡。机械振动比较直观，易于理解，在大学物理中我们主要讨论机械振动。从振动的形式来看，有连续振动和非连续(脉冲)振动，有周期振动和非周期振动等等，其中最简单的是简谐振动。简谐振动的规律简单而和谐，而且可以证明，一切复杂的振动都可以看作是多个简谐振动的合成（付里叶分解），因而讨论简谐振动也就是讨论所有振动的基础。二、简谐振动如果一个物体对于平衡位置的位移按余弦函数的规律随时间变化，我们说物

3、体的运动是简谐振动。例如弹簧振子的无阻尼振动就是简谐振动。如图所示，一个轻质弹簧的一端固定，另一端结一个可以在水平光滑面上自由运动的物体，若所有的摩擦都可以忽略，这就是一个无阻尼的弹簧振子。在弹簧处于自然长度时，物体处于平衡位置O，以O为原点弹簧振子的简谐振动设立Ox坐标轴。如果移动物体到x=A处然后释放，则物体会在Ox坐标轴上O点两侧作往复运动。把物体当作质点来讨论，可以证明物体对于平衡位置的位移(如果选取平衡点为坐标轴的原点，也可以称为位置)x将按余弦函数的规律随时间t变化，因此，物体的这种振动就是简谐振动。10.1.2 简谐振动方程一、简谐振动的运动学方程根据简谐振动的定义，从运动学角度

4、可得描写简谐振动的数学表达式为 其中A、和为常量。上式称为简谐振动的运动方程，简称为谐振方程（运动学方程）。二、简谐振动曲线简谐振动也可以用振动曲线来描述，称为谐振曲线，如下图所示。图中A=0.02米，周期T=0.4秒。简谐振动的振动曲线三、简谐振动的微分方程将简谐振动方程对时间微分两次，即得它的加速度与它对于平衡位置的位移的关系，改写为 这是一个二阶线性齐次微分方程，称为简谐振动的微分方程，简称为谐振微分方程。按照微分方程理论，这个方程的通解就是 其中A和是积分常量。可见，满足谐振微分方程的物理量是一个谐振量，它的运动是简谐振动。上式中物理量x替换成其它物理量，如速度、加速度，角位移、角速度

5、，甚至是电磁学量，如电流、电压、电场强度和磁感应强度。无论是什么物理量，只要它满足谐振微分方程，它的运动形式就是简谐振动。四、简谐振动的动力学特征根据牛顿第二定律，质量为m的质点在x方向作简谐振动，它所受的合外力应该是 所以物体做简谐振动时，合力为 由于简谐振动的m、都是常量，所以可以说：作简谐振动的质点所受的的合外力的大小与它对于平衡位置的位移成正比而方向相反。我们把这样的力称为正比回复力。这是简谐振动的一个重要特征，也叫动力学特征。反过来，如果一个质点沿x方向运动，它受到的合外力为正比回复力，即 则由牛顿第二定律，可得 或 令 即有 这正是谐振微分方程，表示x是一个谐振量，即 由此我们得到

6、一个结论：若质点所受的合外力是正比回复力，则质点的运动是简谐振动，这可作为简谐振动的动力学定义。简谐振动的由上式决定。这意味着，是由振动系统本身的力学性质(包括物体的质量和力的性质)所决定的。所以我们把称为振动系统的固有角频率。对刚体的转动可以进行同样的讨论。如果一个刚体绕O轴转动，它受到的合外力矩为正比回复力矩，即 则由转动定律可得 令 即有 这也是一个谐振微分方程，表示刚体对于平衡位置的角位移是一个谐振量，即 其中表示角位移的振幅。因此可以说，若刚体所受的合外力矩是正比回复力矩，则刚体的转动是简谐振动。10.1.3 描写简谐振动的物理量根据简谐振动方程 我们可以看到决定物体简谐振动特征物理

7、量是其中A、和。它们称为描写简谐振动的物理量。名称定义如下。一、振幅上式中的A表示质点可能离开原点的最大距离，它给出了质点运动的范围。这个量叫做振动的振幅。由于振幅A是一个常量，因而简谐振动的全部变化都反映在余弦函数的变化之中。二、角频率、周期、频率上式中的叫角频率。由上一个知识点我们知道，角频率是振动系统固有的特征量，由系统特征量确定。余弦函数是周期函数，振动物体运动状态完全重复一次，称为物体进行了一次全振动。物体进行一次全振动所需要的时间叫振动的周期，以T表示。从简谐振动方程我们看到周期一定满足如下公式（余弦函数周期性） 得到 这就是周期与角频率的关系。单位时间内物体全振动的次数叫做简谐振

8、动的频率，用表示。显然它是周期T的倒数即 也可以使用角频率表示为 由于和成正比，所以把它叫做振动的角频率，T或都描述简谐振动的周期性。为了方便，我们把以上，T和的关系一并记作 显然，T和这三个量中，只要有一个知道了，其余两个也就很容易得到。在国际单位制中，T的单位是s，的单位是Hz(或s1)，的单位是rad/s(或s1)。三、相位和初相在简谐振动方程中余弦函数中的变量 叫做振动的相位。记作 简谐振动的状态仅随相位的变化而变化，因而相位是描述简谐振动的状态的物理量。相位是一个非常重要的概念，大家要注意两点：相位与时间一一对应，相位不同是指时间先后不同。相位是以角度的方式初相便于我们讨论振动的细节

9、。上式对时间求导，可得 故角频率表示相位变化的速率，是描述简谐振动状态变化快慢的物理量。是一个常量，表示相位是匀速变化的。相位的一般表达式中的叫初相，即t=0时的相位，初相描述简谐振动的初始状态。在时间从t1到t2的过程中，相位从变化到，相位变化 它和相应的时间变化的关系为：其直观的物理意义是：相位变化等于相位变化的速率与变化的时间之积。将上式进一步记作 此式表明，时间每过一个周期，则相位增加。相位差与时间差的关系还常常用于讨论两个振动的同步。例如，有下列两个简谐振动： 它们的相位差（简称相差）为 相差描述同一时刻两个振动的状态差。从上式可以看出，两个连续进行的同频率的简谐振动在任意时刻的相差

10、都等于其初相差而与时间无关。由这个相差的值可以分析它们的步调是否相同。如果(或者2的整数倍)，两振动质点将同时到达各自的极大值，并且同时越过原点并同时到达极小值，它们的步调始终相同。这种情况我们说二者同相。如果(或者的奇数倍)，两振动质点中的一个到达极大值时，另一个将同时到达极小值，并且将同时越过原点并同时到达各自的另一个极值，它们的步调正好相反。这种情况我们说二者反相。当为其它值时，我们一般说二者不同相。例如对于下面两个简谐振动： 它们的相差为=/2，即 振动的相位始终要比 振动的相位大/2。两个同频率的简谐振动的振动曲线上图描出了这两个振动的振动曲线(为了便于讨论相位差，我们把两个振动的振

11、幅设为相同，图中实线表示 振动，虚线表示 振动)。从图中可以看出，在t=0时，振动的相位为0，振动的相位为/2，在t=T/4时，振动的相位变为了/2，而振动的相位则变为。对于这种情况，我们说振动在相位上超前振动/2，或说成是振动落后于振动/2，即两个振动比较，相位大的一个称为超前，相位小的一个称为落后。从时间上看，我们可以说振动超前振动T/4，即振动必须要在T/4后才能到达振动现在的状态。也就是说，两个振动比较，时间因子大的一个称为超前，时间因子小的一个称为落后。两个同频率的简谐振动的相差和时间差t的关系，仍然可以表示为 表示一个振动的时间每超前一个周期，则它的相位超前2。对于一个简谐振动，如

12、果A，和都知道了，这个振动也就完全清楚了。因此，这三个量叫做描述简谐振动的三个特征量。10.1.4 简谐振动的速度与加速度一、简谐振动的速度和加速度由谐振方程，可求得任意时刻质点的振动速度和加速度：简谐振动的x，v，a随时间变化的关系曲线 广义地说，简谐振动x的速度v、加速度a也都是简谐振动。它们振动的频率相同；它们的振幅分别为A、和，即依次多一个因子；它们的相位依次超前/2。它们的相互关系可用右图所示的曲线表示，为了突出相位，图中把振幅的大小作得相同。从图中可以看出，它们的频率相同，相位依次超前/2，因而加速度和位移反相。和振动方程比较亦可以看出 这一关系式说明，简谐振动的加速度和位移的大小

13、成正比而方向相反。二、振幅和初相与初始条件的关系t0时的速度和加速度称为初始条件。由简谐振动方程和其速度方程，我们有 所以我们有 上述关系式称为振幅和初相与初始条件的关系。由此可知，只要初始条件确定质点简谐振动的振幅和初相就是确定的。10.2 简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动除了用谐振方程和谐振曲线来描述以外，还有一种很直观，很方便的描述方法，称为旋转矢量表示法。在一个平面上作一个Ox坐标轴，以原点O为起点作一个长度为A的矢量A，A绕原点O以匀角速度沿逆时针方向旋转，称为旋转矢量，矢量端点在平面上将画出一个圆，称为参考圆。设t=0时矢量A与x轴的夹角即初角位置为，则任意t时A与x轴的夹角即角位

14、置为，矢量的端点M在x轴上投影点P的坐标为 简谐振动的矢量图这与简谐振动定义式完全相同。由此可知，旋转矢量的端点在x轴上的投影的运动就是简谐振动。显然，一个旋转矢量与一个简谐振动相对应，其对应关系是：旋转矢量的长度就是振动的振幅，因而旋转矢量又称为振幅矢量；矢量的角位置就是振动的相位，矢量的初角位置就是振动的初相，矢量的角位移就是振动相位的变化；矢量的角速度就是振动的角频率，即相位变化的速率；矢量旋转的周期和频率就是振动的周期和频率。我们在讨论一个简谐振动时，用上述方法作一个旋转矢量来帮助分析，可以使运动的各个物理量表现得直观，运动过程显示得清晰，有利于问题的解决。两个同频率的简谐振动的旋转矢量如图所示为t=0时某两个振动的旋转矢量图。其中A1是振动对应的旋转矢量，A2是振动对应的旋转矢量。由于旋转矢量的角位置表示振动的相位，因而它们的夹角代表它们的相位差。如果是两个同频率的简谐振动，则旋转矢量的角速度相同，它们的相位差不随时间改变。从图中可以看出，振动的相位(矢量的角位置)始终要比振动的相位大/2，即超前/2。振动到达一个状态后，振动总要在T/4后才能到达这个状态，即振动超前振动T/4。由于，所以也可以说是振动超前振动3/2。为了表述的一致性，我们约定把 的值限定在p以内，对于上面的两个简谐振动，我们统一说成是振动超前振动/2，或说