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1、考点20 三视图与几何体的体积和表面积【考点剖析】1.最新考试说明：1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，会用斜二测画法画出它们的直观图3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图或直观图，了解空间图形的不同表示形式4.能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化. 5.会计算球、柱、锥台的表面积和体积(不要求记忆公式) 2.命题方向预测：1.三视图是高考的热点和重点，几乎年年考2.空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多与三视图相结合命题3.
2、主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体积，同时考查空间想象能力及运算能力题型多为选择、填空题.3.课本结论总结：1.空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.旋转体(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到
3、.2.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图.3.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点O，且使xOy45(或135).(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x轴、y轴.(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直
4、观图中对应的z轴也垂直于xOy平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z轴且长度不变.4.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下球S4R2正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心4.名师二级
5、结论：(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图(1) 等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和
6、三棱锥的高这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值(3)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.（4）求几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积.5.课本经典习题：（1）必修2第27页某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()ABC82 D. 【答案】A【经典理由】糅合三视
7、图与体积的求法于一个题，而且三视图中包含两个几何图形。（2） 必修2第14页设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A3a2 B6a2 C12a2 D24a2【答案】B【经典理由】考察长方体外接球，说明了求多面体外接球的一般方法.（3） 必修2第12页某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A8 BC10 D【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6, ，8,10，所以面积最大的是10，故选择C.【经典理由】考察学生空间想象能力，求各个三角形面积时要把各个三角形平面化。6.考点交汇展示：(1)三视图
8、与球体交汇【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A (2)三视图与体积、面积交汇1.【2017山东，文13】由一个长方体和两个 圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .【答案】【解析】试题分析：由三视图可知,长方体的长宽高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以.2.【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）（A） （B） （C） （D）
9、【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和故选A (3)体积与基本不等式交汇【2017届湖北省襄阳市第四中学高三周考】是的直径，点是上的动点，过动点的直线垂直于所在的平面，分别是的中点（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）若已知当三棱锥体积最大时，求点到面的距离【答案】（1）面，理由见解析；（2）.（2）设，则，当且仅当时取等号体积最大时，面积为，设所求的距离为，由等体积法知(4)体积与函数、导数交汇【2016高考江苏卷】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部
10、分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高的四倍.（1）若则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2） (2)设A1B1=a(m),PO1=h(m)，则0h6,OO1=4h.连结O1B1.因为在中， 所以，即 于是仓库的容积，从而.令，得 或（舍）.当时， ，V是单调增函数；当时，V是单调减函数.故时，V取得极大值，也是最大值.因此，当 时，仓库的容积最大.【考点分类】热点1 三视图及形状的判断1.【2018届河南省新乡市第一中学高三8月月考】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）【答案】B【解析】试
11、题分析：俯视图为几何体在底面上的投影，应为B中图形.2.【2018届广东省广州市海珠区高三综合测试一】如图，点分别是正方体的棱的中点，用过点和点的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【方法规律】（1）三视图的长度特征，三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽即“长对正，宽相等，高平齐”(2)空间想象能力与多观察实物相结合是解决此类问题的关键(3)还要注意画直观图时长度的变化【解题技巧】三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，
12、侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法【易错点睛】注意空间几何体的不同放置对三视图的影响.注意区分三视图中的实线和虚线.注意投影在三视图中的应用例1：若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()【解析】选B由正视图与俯视图可以将选项A、C排除；根据侧视图，可以将D排除，注意正视图与俯视图中的实线【易错点】不注意区分实线与虚线.例2：将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为() 【易错点】没有正确理解投影.热点2 三视图及表面积1.【2018届四川省成都市龙泉第二中学高三10月月考】一个几何体
13、的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积 故选D.2.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A10B12C14D16【答案】B【解析】3.【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是
14、（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设球的半径为：r，由正四面体的体积得：,所以r=，设正方体的最大棱长为a，3=a=,外接球的面积为故选B.【方法规律】1在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理2以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系3圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.【解题技巧】几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.【易错点睛】(1)熟记常见图形的面积公式(2)注意把直观图中的面积转换为平面图形的面积进行求解例1：一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为_.【解析】由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为的三角形，所以原三角形的面积为.【易错点】不注意区分三视图和直观图例2：已知三棱锥ABCD的所有棱长都为
