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1、一不等式的看法(一)不等式的看法作为表达同类量之间的大小关系的一种数学形式，不等式必定在定义了大小关系的有序会集上研究由于复数域没有定义大小，所以不等式中的数或字母表示的数都是实数1.不等式用符号或联系两个解析式所成的式子，称为不等式不等号或叫做严格不等号，或叫做非严格不等号（相应的不等式分别叫做严格不等式和非严格不等式）比方ab表示“ab或ab有一个成立，”所以或都是真的别的，平常还使用一种只必定不等关系但不划分孰大孰小的不等号，即“”下面主要谈论严格不等式的性质常以下定义不等式：形如f(x,y,z)g(x,y,z)(2-1)的式子，称为关于变数x,y,z的不等式（符号“”表示不等号“”，“
2、”中的任一个）在(2-1)式中，f(x,y,z)与g(x,y,z)定义域的交集，叫做不等式(2-1)的定义域在不等式(2-1)的定义域中，能使不等式成立的数值组，叫做不等式(2-1)的解，不等式(2-1)解的全体组成的会集，叫做不等式(2-1)的解集求出不等式解集的过程，叫做解不等式若是不等式(2-1)的定义域中所有值组都使不等式(2-1)成立，那么不等式(2-1)叫做绝对不等式若是不等式(2-1)的定义域中所有值组都使不等式(2-1)不成立，那么不等式(2-1)叫做矛盾不等式若是不等式(2-1)的定义域中一些值组使不等式(2-1)成立，而另一些值组使不等式(2-1)不成立，那么不等式(2-1
3、)叫做条件不等式在不等式(2-1)中，若是f(x,y,z)和g(x,y,z)都是代数式，那么就叫它代数不等式；若是f(x,y,z)和g(x,y,z)中最少有一个为超越式，那么就叫它超越不等式在代数不等式(2-1)中，若是f(x,y,z)和g(x,y,z)都是有理式，那么就叫它有理不等式；若是f(x,y,z)和g(x,y,z)最少有一个为无理式，那么就叫它无理不等式在有理不等式(2-1)中，若是f(x,y,z)和g(x,y,z)都是整式不等式，那么就叫它整式不等式；若是f(x,y,z)和g(x,y,z)最少有一个是分式，那么就叫它分式不等式2.不等式组含有未知数x,y,z的几个不等式所组成的一组
4、不等式f1(x,y,f2(x,y,z),z)g1(x,y,g2(x,y,z),z)(2-2)fk(x,y,z)gk(x,y,z)称为不等式组不等式组(2-2)中，fi(x,y,z)gi(x,y,z)(i1,2,k)定义域的交集，叫做不等式组(2-2)的定义域不等式组(2-2)中，各个不等式的解集的交，叫做不等式组(2-2)的解集求出不等式组的解集的过程，叫做解不等式组(二)不等式的性质实数的三条运算比较性质：abab0abab0abab0为不等式性质的证明供应了依照不等式有以下10条性质(1)对逆性如ab，则ba；反之如ba，则ab(2)传达性若ab,bc,则ac(3)加法单调性若 ab，则a
5、cbc(4)乘法单调性若ab,c0，则acbc；若ab,c0则acbc(5)相加法规若 ab,cd,则acbd(6)相减法规若ab,cd，则acbd(7)相乘法规若ab0,cd0，则acbd(8)相除法规若ab0,0cd，则abcd(9)乘方法规a,bR，若ab，整数n1，则anbn(10)开方法规a,bR，若ab，整数n1，则nanb注意性质(1),(3),(4),(9)和(10)是可逆的，所以这些性质可以用于证明不等式，也可用作解不等式其余各条作为解不等式的依照，可以用于证明不等式（当不需可逆推理时）(三)不等式的证明方法1.比较法AB(或比较法是直接求出所证不等式两边的差或商，此后推演结
6、论的方法欲证AB)，可以直接将差式AB与比较大小；也许A,BR时，直接将商式A与1比B较大小在什么状况下用比较法较好呢？一般地，当移项后简单分解成因式或配成完好平方时，可考虑用比较法；或当不等式两边都是乘积构造（或可化成乘积构造，成虽为商式构造，但分子、分母都可化为乘积构造）时，可考虑比较法；别的，能化成便于放大或减小的商式，也可考虑用比较法例设a,b为不等的实数，求证a46a2b2b44ab(a2b2)证明由于a46a2b2b44ab(a2b2)(a2b2)24ab(a2b2)(2ab)2(a2b22ab)2(ab)40(ab)所以462244(22)aabbabab例若abc0，求证a2a
7、b2bc2cabcbcacab证明考虑用商式由于a2ab2bc2caabbbbccccaaabcbcacababbabccbcaacaabbcacba1bcc所以a2ab2bc2cabcbcacab2.综合法综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，依照不等式的性质、函数性质或熟知的基本不等式，渐渐推导出要证明的不等式常利用不等式的性质或借助于现成的不等式所以，掌握的不等式越多，应用这种方法就越方便例试证：若a,b,c0，则有a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc证明方法由于(ab)20，所以(a2b2)2ab又c0，所以c(a2b2)2abc同理有a(b2c2)2abc,b(c2a
8、2)2abc由同样加法规，三式相加即得结论方法欲证不等式等价于bccaabcbacb6a由于bc2,ca2,ab2，三式相加，即得结论cbacba说明将所要证不等式分成几个同向不等式，此后将各式相加或相乘，这是证明不等式的常用手法3.解析法解析法是“执因索果”，即从所要证明的结论出发，步步推求使不等式能成立的充分条件（或充分必要条件），直至归纳到已知条件或已知成立的结论为止例已知nN,n1，求证1111111111(1)n1352nn242n证明欲证不等式(1)，只要证n11111(n1)111(2)352n242n(2) 式左边即nn11122n5(3)32n1(2) 式右边即111n111
9、242n242nn111n11(4)2242n42n比较(3)与(4)式，显然111111352n1462n可知要证(2)式成立，只要证n111(5)2242n当n1时，(5)式成立；若nk时，(5)式成立则nk1时k1k11111222242k2k21111242k2(k1)即(5)式成立，结论得证应用解析法的基本思路是“要成立，只要成马上可；要成立，只要成立”，一直追溯到已知条件或已知的不等式为止用形式符号表示出来，就是“ABC”若是解析的每一步都是充分必要的，即“AB”则更好应该重申的是，解析的思想和解析的方法是研究所有问题的一个基本方法无论是数学，自然科学，还是经济学或社会科学，多数是以解析为先导没有中肯的解析，就不会有正确的综合所以在数学教育中培养学生解析问题的能力是有意义的4.数学归纳法数学归纳法是由皮亚诺公义派生出来的一个重要数学方法它关于等式或不等式的证明同样是有效的主要用于与自然数n有关的不等式命题例求证关于任意的自然数n，有1352n112462n2n1证明方法当n=1时，有11，不等式成立23
