利用直线的斜率解题.doc

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1、利 用 直 线 的 斜 率 解 题 江苏省镇江市丹徒高级中学 蔡鹏 本文试通过相似联想,利用斜率的几何意义,把数学表达式化归为直线斜率相关的结构形式,它的解题优点是:构思灵巧,直观性强,易于打开解题思路。现举例如下:yxoABC图11 比较大小,证明不等式例1 比较与的大小解:设A(1,1),B(101999,101998), C(102000,101999),则,因为B,C都在直线上,点B位于点C的左侧,点A位于下方,如图1所示即。例2设a1,a2,b1,b2都是正数,并且,证明:。证明:在坐标平面上作点A(b1,a1)和B(b2,a2),则线段AB的中点为Q(,)A(b1,a1)Q(,)B

2、(b2,a2)yox图2如图2,分别为直线OA,OB的斜率,因为它是OQ的斜率,而OQ夹在OA,OB两线之间,(4,3)yxo4图3则,即。2 求值域、最值及确定参数范围例3求的值域。解:令,则。表示圆上的点与原点连线的斜率,故所求函数值域为。OxC(2,1)ByA(0,)图4例4当m为何值时,与的交点位于第二象限?解:直线方程变形为:,它表示过定点C(2,1)斜率为m的直线系方程。又圆与y轴正半轴交于点A(0,), 与x轴负半轴交于点B(2,0),要求m的范围,只要求过点(2,1)及( (不含A、B)上任一点的直线的斜率的范围,即,。3 求等差、等比数列的有关问题(1) 等差数列通项公式变形为,则点(n,)都在斜率为d的直线上(2) 等差数列前项和公式:变形为:,则点()都在斜率为的直线上。(3) 等比数列的通项公式,两边取对数得,即则点(n,)在斜率为lgq的直线上。例5 在等差数列中中,则 。解:由(1)可知,45。例6等差数列前m项和为30,前2m项和为100,求前4m项和.解:由(2)可知得,故=360。例7 若一正项等比数列的第p,q,r项分别为x,y,z。求证:(a0,且a1)证明:点A(p,)(q,)(r,)共线,即,经整理变形可得:。1

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