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1、 戴德金定理； 单调有界数列必收敛定理（一般的，我们取单调递增有上界数列）； 确界原理（一般的，我们取非空有上界数集）； 闭区间套定理； 致密性定理； 柯西收敛准则； 有限覆盖定理 在证明它们的等价性时，一般采用循环证法，但在本篇论文中，为了说明这七个命题都可以作为构造实数的公理性命题，我们选择从一个命题出发，来证明其余六个命题下面给出这42个证明过程：（戴德金定理单调有界数列必收敛定理）证明：设数列单调递增且有上界，其上界构成集合，令，则构成了实数集的一个分划（满足非空、不漏、有序）由戴德金定理可知，中有最大数或中有最小数 若中有最大数，不妨设为，则由的构造可知不是的上界，使，则，且为数列的
2、上界，由数列单调递增可知，均有，从而极限存在 若中有最小数，不妨设为，现在证明即为数列的极限事实上，是数列的上界，且对不属于，从而不是的上界，即，又因为的单调性，从而：也即，数列收敛于 ：（戴德金定理确界原理）证明：设数集非空且有上界，其上界构成集合，令，则构成了实数集的一个分划（满足非空、不漏、有序）由戴德金定理可知，中有最大数或中有最小数若中有最大数，不妨设为，则由构造可知不是数集的上界，从而存在 即为的上界，因此，数集的上确界存在 若中有最小数，不妨设为，则对不是的上界从而 使：也即，的上确界存在 ：（戴德金定理闭区间套定理）证明：设是递缩的闭区间列，数列的上界构成集合，则我们可知，令，
3、则构成了实数集的一个分划（满足非空，不漏，有序）由戴德金定理可知，中有最大数或中有最小数 若中有最大数，类似前面证明可知，数列自某一项之后恒为常数，从而数列的极限存在，设，则： 即 点唯一且属于所有的闭区间 若中有最小数，不妨设为，则对，有：且因 可知：从而 点唯一且属于所有的闭区间7：（戴德金定理致密性定理）证明：对任意有界数列，定义为的子集：令为有限集或空集；为无限集根据上述定义，显然可以得出是实数集的一个分划，由戴德金定理可知 有且仅有下列两种情况：（1）即，此时存在，当就有，但另一方面因此，从而有无穷多个满足今取：，则使；，则使；，则使；于是得到的一个子列，其中，这说明 （2） 即 这
4、说明为有限集，为无限集，即内有无限多个中的点，同上可得到数列的收敛子列且 ：（戴德金定理柯西收敛准则）证明：类似上述讨论，数列有收敛子列，即对 均有：又因为为柯西列，对上述 有：因而取，则，从而对上述 有： 即数列收敛 ：（戴德金定理有限覆盖定理） 证明：假设闭区间被开区间集所覆盖，若闭区间没有被开区间集有限覆盖，则将闭区间二等分为，必有一个闭区间没有被有限覆盖，记为，依此类推，得到递缩的闭区间列，根据戴德金定理推出闭区间套定理的结果可知，有唯一的一个点属于所有的闭区间，又因为闭区间被开区间集所覆盖，则对点的某一邻域必存在中一个区间，使得，又当充分大时有，即被区间所覆盖，这与的取法矛盾 ：（单
5、调有界数列必收敛定理戴德金定理）证明：设为实数集的一个分划，且中没有最大值，现在来证中必有最小值 事实上，我们可作严格递缩的闭区间列，其中：则由分划的构造可知数列单调递增且有上界，单调递减且有下界，根据单调有界数列必收敛定理，数列，的极限均存在，可设 则：即 若，因中没有最大值，则使，又 则显然对，有：，即因而，由的任意性，可知，这与为实数集的分划相矛盾因而，且对任意的均有，为的最小数 ：（确界原理戴德金定理）证明：设为实数集的一个分划，且中没有最大值，现在来证中必有最小值事实上，非空且有上界，从而其上确界存在，不妨设，否则中有最大数，与假设矛盾从而且为的最小值，因为若存在且，则因为为上确界，
6、对必有，使得，因而我们有，矛盾也即中有最小值 ：（闭区间套定理戴德金定理）证明：设为实数集的一个分划，且中没有最大值，现在来证中必有最小值事实上，任取两点 则将闭区间二等分为，必有一个闭区间即含有中元素，又含有中元素，记为，依此类推，可得到递缩的闭区间列，则由闭区间套定理，有唯一的一个点属于所有的闭区间，因为中无最大值，又因为数列严格递增且以为极限，可知，现在来证为的最小值否则，若存在且，则当充分的时，有 这与中必含有中点相矛盾，结论得证 ：（致密性定理戴德金定理） 证明：设为实数集的一个分划，且中没有最大值，现在来证中必有最小值事实上，任取两点 则将闭区间二等分为，必有一个闭区间即含有中点，
7、又含有中点，记为，依此类推，可得到递缩的闭区间列，则因为数列有界，从而数列有收敛子列，不妨假设，即对，均有：又因为数列单调递增，对 均有 使得：，即 从而数列收敛于点即，又因为： 即有唯一的一个点属于所有的闭区间因为中无最大值，从而数列严格递增且以为极限，可知，现在来证为的最小值，否则，若存在且，则当充分的时，有 这与中必含有中点相矛盾，结论得证 ：（柯西收敛准则戴德金定理） 证明：设为实数集的一个分划，且中没有最大值，现在来证中必有最小值事实上，任取两点则将闭区间二等分为，必有一个闭区间即含有中元素，又含有中元素，记为，依此类推，可得到递缩的闭区间列，构造新数列=，由且数列单调递增数列单调递
8、减显然可知数列为柯西列，从而数列收敛，不妨设，则其子列，均收敛，且可得： 因而有唯一的一个点属于所有的闭区间，因为中无最大值，从而数列严格递增且以为极限，可知，现在来证为的最小值，否则，若存在且，则当充分的时，有 这与中必含有中点相矛盾，结论得证 ：（柯西收敛准则戴德金定理） 证明：设为实数集的一个分划，且中没有最大值，现在来证中必有最小值事实上，任取两点则将闭区间二等分为，必有一个闭区间即含有中元素，又含有中元素，记为，依此类推，可得到递缩的闭区间列，构造新数列=，由且数列单调递增数列单调递减显然可知数列为柯西列，从而数列收敛，不妨设，则其子列，均收敛，且可得： 因而有唯一的一个点属于所有的
9、闭区间，因为中无最大值，从而数列严格递增且以为极限，可知，现在来证为的最小值，否则，若存在且，则当充分的时，有 这与中必含有中点相矛盾，结论得证 ：（有限覆盖定理戴德金定理） 证明：设为实数集的一个分划，且中没有最大值，现在来证中必有最小值事实上，任取两点则将闭区间二等分为，必有一个闭区间即含有中点，又含有中点，记为，依此类推，可得到递缩的闭区间列，令，如果是空集，则有开区间集覆盖了闭区间，从而由有限覆盖定理可知有有限个开区间设为覆盖了闭区间，从而我们可以得到闭区间，这显然与闭区间列的构造相矛盾又因为，从而有且仅有唯一的一个点属于所有的闭区间因为中无最大值，从而数列严格递增且以为极限，可知，现在来证为的最小值，否则，若存在且，则当充分的时，有这与中必含有中点相矛盾，结论得证
