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1、折线最小值问题由一模试卷上的一道题想到的黄月美（江苏省泰州市九龙实验学校 225312）苏科版八年级（上册）45页第9题：ABPQBL如图，A、B在直线L的同侧，点B是点B关于L的对称点，AB交L于点P（1）AB与AP+BP相等吗？为什么？（2）在L上取一点Q，并连接AQ和QB，那么AQ+QB与AP+PB哪一个大？为什么？本题实际上是在直线L上找一点P，使点P到直线L的同侧两个定点A、B的距离之和最小这道题是在学习了线段公理和轴对称后的一道很好的习题我们不妨将此类型问题归纳为“折线求最小值问题”，它涉及到“两点之间线段最短、利用对称化折线为直线的基本方法”。这道题有很多应用，从2008年中考试
2、题中可以看到这一习题的结论是被如何应用的一、直接应用此结论DABCPMN中考链接（2008湖北省荆门市）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_ 本题由菱形的轴对称性，知对角线AC所在直线即为对称轴，所以只要取点M（或点N）关于AC的对称点M，则MN的长就是PM+PN的最小值二、间接应用此结论ONMP引例：公园里有两条河流OM、ON在点O处汇合，MON60，两河形成的半岛上有一处古迹P，现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修3段小路分别连接两座小桥Q、R和古迹P，若古迹P到两条小河的距离都是
3、50米，求这3段小路长度之和的最小值.本例很明显是折线求最小值问题，但与课本习题不同的是它演变为求3条线段之和的最小值，运用“两点之间，线段最短”公理，仍可采用对称化折线为直线的方法来解决.中考链接（2008福州市）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA3，OC2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得
4、四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)在RtEBF中,B=900，所以EF=.设点P的坐标为(0,n),其中n0,因为顶点F(1,2),所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a0) 如图1,当EF=PF时,EF2=PF2,所以12+(n-2)2=5,解得n1=0(舍去),n2=4,所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2,解得a=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2如图2,当EP=FP时,EP2=FP2,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n=(舍去) 当EF=EP时,EP=3,这种
5、情况不存在.综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2(3)存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小PO图ECyxADBFPO图ECyxADBF如图3,作点E关于x轴的对称点E/,作点F关于y轴的对称点F/,连接E/F/,分别与x轴、y轴交于点M、N,则点M、N就是所求.所以E/(3,-1)、F/(-1,2),NF=NF/,ME=ME/,所以BF/=4,BE/=3,所以FN+NM+ME=F/N+NM+ME/=F/E/=5.又因为EF=,所以FN+MN+ME+EF=5+,此时四边形MNFE的周长最小值为5+.E/F/MNO图ECyxADBF本题第（3）问是一个拓展问题，在两条直线上分别
6、找一个点使与两个点相连构成的四边形周长最小问题.四边形的周长虽为4条线段之和，但EF一边是定长，因而与上例本质相同.中考链接（2008陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。如图，甲、乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60的km处。为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙
7、村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？北东D30ABCMOEF图乙村D30ABCMOEF图乙村DEDMsin603，ME，PEDE， P点与E点重合，即AM过D点。在线段CD上任取一点P，连接PA，PM，PM，则PMPM。A PPMAM，把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和
8、最小，即最小值为ADDMAM北东D30ABCMOEF图PMP方案三：作点M关于射线OF的对称点M，作MNOE于N点，交OF于点G，交AM于点H，连接GM，则GMGMMN为点M到OE的最短距离，即MNGMGN在RtMHM中，MMN30，MM6，MH3，NEMH3DE3，N、D两点重合，即MN过D点。ND30ABCMOEF图乙村MNHGG在RtMDM中，DM，MD在线段AB上任取一点G，过G作GNOE于N点，连接GM，GM，显然GMGNGMGNMD把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD线路铺设的长度之和最小，即最小值为GMGDMD。 综上，3，供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短 本题方案一为
9、点到线段距离最小问题.要用到直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短方案二为线上一动点到另外两定点距离之和最小问题，是课本习题的直接应用方案三为线上一动点到一定点及到一线段距离之和最小问题，如何解决呢？至此，我们应发现其中奥妙：要在哪条线上寻找某一点,就以这条直线为对称轴,作出另一定点的对称点,要将供水站建在AB上，则以AB为对称轴，作点的对称点，问题即可解决本题巧妙利用了课本习题的方法和结论，是对课本习题很好的诠释海陵区第一次模拟考试最后一题也可用这一结论来解决，原题如下：如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是等腰梯形，A、B在x轴上，D在y轴上，ABCD，ADBC，AB5，CD3
10、，抛物线过A、B两点.（1）求b、c；（2）设M是x轴上方抛物线上的一动点，它到x轴与y轴的距离之和为d，求d的最大值；（3）当（2）中M点运动到使d取最大值时，此时记点M为N,设线段AC与y轴交于点E,F为线段EC上一动点，求 F到N点与到y轴的距离之和的最小值，并求此时F点的坐标. 本题第3问若用解决折线最短问题的思路来做的话，就与2008陕西省一题中的方案三情况一样了，只需作点N关于直线AC的对称点N，再过点N作y轴的垂线与的交点即为所求的点解题方法源于基础知识，只有对基础知识的掌握达到一定的熟练程度，才能得心应手地将基础知识及所提炼的方法进行恰当组合，应用创新，才能使思维敏捷、技法娴熟
11、线段型最值的教学设计【 教科室 2006年3月17日浏览：374字体：大 中 小】 最值问题充满着现实世界，它是一个永恒的课题，也是历年数学高考中经常出现的题型之一，而线段型最值更是最典型、最广泛、最能体现数学思想的内容。解决好这一问题的关键在于抓住问题的特征，选取恰当视角，巧妙构建数学模型。下面是一堂高三数学复习课的教学过程，收到了良好的效果。 1.教学目标 知识目标：掌握求线段型函数最值的概念和常用方法 能力目标：通过典型例题,培养学生综合运用数学知识的能力，提高学生抽象的逻辑推理能力和用数形结合解决数学问题的能力。 素质目标：体验数学知识与方法的运用，逐步形成科学地分析、解决问题的能力。
12、通过典型例题，尤其是各知识点的综合运用，渗透事物之间相互联系，相互转化等辨证唯物主义观点。 教学重点：掌握求线段型函数最值的常用方法及学生解题中含混的概念和错误的纠正。 教学难点：转化思想与数形结合等数学思想的渗透。 2.教学过程 （1）、回忆方法：学生讨论回顾，求函数最值的一些常用方法。 （2）、讨论例题： 问题1：已知A（2，3）、B（-1，-1），P是X轴上的点，求|PA|+|PB|的最小值 （如图1）。 引导学生观察图形：|PA|+|PB|最小值，即为|AB|=5。 问题2： 已知点A（2，3），B（-1，5），P是直线L：x-y=0上的点，求|PA|+|PB|的最小值（如图2）。 引
13、导学生观察图形，要使|PA|+|PB|最小，作A关于直线L：x-y=0的对称点A（3，2），则|PA|=|PA|，所以|PA|+|PB|=|PA|+|PB|。显然当P在AB与L的交点时，|PA|+|PB|有最小值，其最小值为|AB|=5。 问题3：已知点A(1,3)，B(5,-2)，点P在x轴上，且使|AP|BP|最大，求P的坐标及|AP|BP|的最大值（如图3）。 同理作B关于X轴对称点B（5,2），则|BP|=|BP|。 故|AP|BP|=|AP|BP|AB|，等号当且仅当点P在直线AB上成立。从而点P为(13,0)时，|AP|BP|有最大值，最大值为|AB|=。 评析：求直线上点到两定点的距离之和最小值(或距离之差的最大值)问题，只要通过图象观察，就能容易找出所求的最值及动点的位置。 问题4：已知点A(2,2)，设F为椭圆的右焦点，M是椭圆上的一动点，求|AM|+|MF|的最小值,并求此时M点的坐标（如图4）。 引导学生分析： (1)能否建立目标函数求最值？ 设M(x,y)是椭圆上任意一点，则|AM|+|MF|=再转化为一元函数的最值问题，显然代入消元不易。 (2)观
