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1、-数列是高中代数的重要容，又是学习高等数学的根底。 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。 数列求和是数列的重要容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大局部数列的求和都需要一定的技巧。 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的根本方法和技巧。 一、公式法利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法。 1、 差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、 4、 4、例 ：，求的前n项和.解：由 由等比数列求和公式得 1解析：如果计算过程中出现了这些关于n的多项式的求和形式，可以直接利用公式。 二、错位相减这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要
2、用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列。例：求数列a,2a2,3a3,4a4,nan,(a为常数)的前n项和。 解：假设a=0, 则Sn=0； 假设a=1，则Sn=1+2+3+n= ； 假设a0且a1，则Sn=a+2a2+3a3+4a4+ nanaSn= a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) Sn=a+ a2+ a3+an- nan+1=Sn= 当a=0时，此式也成立。解析：数列是由数列与对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的，但要注意应按以上三种情况进展讨论，最后再综合成两种情况。三、倒
3、序相加这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列反序，再把它与原数列相加，就可以得到n个。例5 求证：证明： 设. 把式右边倒转过来得：反序 又由可得：.+得 反序相加 解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进展倒序相加的。四、分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例：Sn=-1+3-5+7-+(-1)n(2n-1)解法：按n为奇偶数进展分组，连续两项为一组。 当n为奇数时：Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+(-2n+1)
4、 =2+(-2n+1) =当n为偶数时：Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+(-2n+3)+(2n+1) =2-n (n为奇数)n n为偶数 =n， 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的通项分解裂项如：1 23 45(6) 例：求数列，的前n项和S解：=， Sn= =解析：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意剩下首尾两项，还是剩下象上例中的四项，后面还很可能和极限、求参数的最大小值联系。六、合并求和针对一些特殊的数列，将*些项合并在一起就具有*种特殊的性质，因此，在求
5、数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例： 数列an：，求S2002.解：设S2002， 由可得：找特殊性质项S2002合并求和 5七、拆项求和先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。n例：求数5，55，555，555 的前n项和Snn解： 因为555=n所以 Sn=5+55+555+555 = = =解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。另外：Sn= 可以拆成：Sn=1+2+3+n+()说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列一章的学习。数列求和问题是数列的根本容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求
6、和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、 4、 5. 例1，求的前n项和.解：由， 由等比数列求和公式得:=1例2. 是否存在常数a、b、c，使等式：12+223+324+n2(n+1)=(an2+bn+c)对一切自然数n都成立.并证明你的结论。分析：这是一个开放性命题，可以从两个角度来解决。解一：n2(n+1)=n3+n2122+223+.+n2(n+1)=(13+
7、12)+(23+22)+(33+32)+(n3+n2)=(13+23+33+n3)+(12+22+32+n2)=n2(n+1)2+n(n+1)(2n+1)=n(n+1)3n(n+1)+2(2n+1)=n(n+1)3n2+7n+2令a=3, b=7, c=2，则对任意nN。都有原命题成立。解二：假设命题成立，在等式中令n=1, 2, 3, 得：即解之，得a=3, b=7, c=2往下再用教学归纳法证明。122+223+324+n2(n+1)=(3n2+7n+2)对一切nN都成立。略评注：解法一分组后直接运用公式求和。二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主
8、要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积当，当，设.设制错位得 错位相减再利用等比数列的求和公式得：， 例4.，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。解析：，即-得：。点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列反序，再把它与原数列相加，就可以得到n个.例5 求的值解：设.将式右边反序得：.反序 又因为 +得：反序相加89 S44.5例6.设数列
9、是公差为，且首项为的等差数列，求和：解析：因为， 点评：此类问题还可变换为探索题形：数列的前项和，是否存在等差数列使得：对一切自然数n都成立。例7函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为求证：点的纵坐标是定值；假设数列的通项公式为，求数列的前m项的和；讲解：这是一道函数、数列、不等式的综合问题对于，直接验证即可；对于，观察的构成：，可知的结论又为作了铺垫；对于，则应在的根底上，充分利用“恒成立，结合函数、不等式的知识去解决总之，此题层层递进，每一小题均为后一小题的根底，因此，从开场，认真走好每一步是解决好此题的关键由题可知：，所以，点的纵坐标是定值，问题得证由可知：对任意自然数，
10、恒成立由于，故可考虑利用倒写求和的方法即由于：所以，所以，四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例8求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得：分组当a1时， 分组求和当时，例9 求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设将其每一项拆开再重新组合得：Sn分组 分组求和 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的. 通项分解裂项如：1 23 45(6) 例10 求数列的前
11、n项和.解：设裂项则 裂项求和 例11 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： 裂项 数列bn的前n项和裂项求和 例12 求证：解：设裂项裂项求和 原等式成立 六、合并法求和针对一些特殊的数列，将*些项合并在一起就具有*种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例13 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 找特殊性质项Sn cos1+ cos179+ cos2+ cos178+cos3+ cos177+cos89+ cos91+ cos90
12、 合并求和 0例14 在各项均为正数的等比数列中，假设的值.解：设由等比数列的性质 找特殊性质项和对数的运算性质 得合并求和 =10七、数列的“通项分析法求和先根据数列的构造及特征进展分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项提醒的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例15 求之和.解：由于找通项及特征 分组求和例16数列an为等差数列，公差d0，其中，恰为等比数列，假设k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+kn。解题思路分析：从寻找新、旧数列的关系着手。设an首项为a1，公差为d，a1，a5，a17成等比数列a52=a1a17a1+4d2=a1(a1+16d)a1=2d
13、， 设等比数列公比为q，则对项来说，在等差数列中：， 在等比数列中：注：此题把k1+k2+kn看成是数列kn的求和问题，着重分析kn的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法。八分部求和例17数列的通项，求其前项和解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项，所以，例18等差数列的首项为1，前10项的和为145，求解析：首先由则：例19、数列的相邻的项是方程的两根，且，求无穷数列的各项的和。解：因为是方程的两根，由韦达定理得，由得，由得，又，得：，在中令，有。由此可知数列的偶数项组成以为首项，以为公比的等比数列。由又可得，又，得：，在中令可得，由知数列的奇数项组成以为首项，以为公比的等比数列。
