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1、直线与圆的方程综合题、典型题1、已知，直线：和圆：（1）求直线斜率的取值范围；（2）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？解析：（1）直线的方程可化为，直线的斜率，因为，所以，当且仅当时等号成立所以，斜率的取值范围是 （2）不能由（1）知的方程为，其中圆的圆心为，半径圆心到直线的距离 由，得，即从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧总结备忘：2、已知圆C：，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。解析：圆C化成标准方程为假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（
2、a，b）由于CMl，kCMkl= 1 kCM=，即a+b+1=0，得b= a1 直线l的方程为yb=xa，即xy+ba=0CM=以AB为直径的圆M过原点，把代入得，当此时直线l的方程为xy4=0；当此时直线l的方程为xy+1=0故这样的直线l是存在的，方程为xy4=0 或xy+1=0评析：此题用,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b的方程比较简单总结备忘： 3、已知点A(2，1)和B(2，3)，圆C：x2y2 = m2，当圆C与线段AB没有公共点时，求m的取值范围. 解：过点A、B的直线方程为在l：xy1 = 0, 作OP垂直AB于点P，连结OB.由图象得：|m|OP或|m|OB时，线段AB
3、与圆x2y2 = m2无交点. （I）当|m|OP时，由点到直线的距离公式得：，即. （II）当OB时, ,即 . 当和时，圆x2y2 = m2与线段AB无交点.总结备忘：4、已知动圆与轴相切，且过点.求动圆圆心的轨迹方程；设、为曲线上两点，求点横坐标的取值范围. 解： 设为轨迹上任一点，则 （4分） 化简得： 为求。 （6分） 设， （8分） 或 为求 （12分）总结备忘：5、将圆按向量平移得到圆，直线与圆相交于、两点，若在圆上存在点，使求直线的方程.解：由已知圆的方程为，按平移得到.即.又，且，. 设， 的中点为D.由，则，又.到的距离等于.即，.直线的方程为：或.总结备忘：6、已知平面直
4、角坐标系中O是坐标原点，圆是的外接圆，过点（2，6）的直线被圆所截得的弦长为（1）求圆的方程及直线的方程；（2）设圆的方程，过圆上任意一点 作圆的两条切线，切点为，求的最大值.解：因为，所以为以为斜边的直角三角形，所以圆：（2）1）斜率不存在时，：被圆截得弦长为，所以：适合 2）斜率存在时，设： 即因为被圆截得弦长为，所以圆心到直线距离为2所以 综上，：或（3）设，则在中，由圆的几何性质得， 所以，由此可得 则的最大值为.总结备忘：7、已知圆，直线过定点。（1）若与圆相切，求的方程；（2）若与圆相交于丙点，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。解：（
5、1）若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意。 2分 若直线斜率存在，设直线为，即。由题意知，圆心以已知直线的距离等于半径2，即：， 解之得 5分所求直线方程是， 6分（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为由得 8分又直线与垂直，由得 11分 13分 为定值。 故是定值，且为6。 15分总结备忘：8、已知过点,且与:关于直线对称.()求的方程；()设为上的一个动点,求的最小值；()过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由. 解:()设圆心,则,解得(3分)则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为(5分)
6、()设,则,且=,(7分)所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)(10分)()由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设, 由,得 (11分) 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 同理,所以= 所以,直线和一定平行(15分)总结备忘：9、NCMQPOAxylml第17题已知过点的动直线与圆：相交于、两点，是中点，与直线：相交于.（）求证：当与垂直时，必过圆心；（）当时，求直线的方程；（）探索是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.NCMQPOAxylml第17题解析：（）与垂直，且，故直线方程为，即2分圆心坐标（0，3）满足直线方程，当与垂直时，必
7、过圆心 4分（）当直线与轴垂直时, 易知符合题意6分当直线与轴不垂直时, 设直线的方程为，即，8分则由，得, 直线：. 故直线的方程为或10分（）, 12分 当与轴垂直时，易得，则,又,14分当的斜率存在时，设直线的方程为，则由，得（）,则= 综上所述，与直线的斜率无关，且.16分总结备忘：10、已知圆O的方程为且与圆O相切。（1） 求直线的方程；（2） 设圆O与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为，直线PM交直线于点，直线QM交直线于点。求证：以为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标。解析：（1）直线过点，且与圆：相切，设直线的方程为，即，2分则圆心到
8、直线的距离为，解得，直线的方程为，即 4分（2）对于圆方程,令，得,即又直线过点且与轴垂直，直线方程为，设，则直线方程为解方程组,得同理可得, 10分以为直径的圆的方程为， 又，整理得， 12分若圆经过定点，只需令，从而有，解得，圆总经过定点坐标为 14分总结备忘：11、已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且.(1)求直线的方程；求圆的方程；设点在圆上，试问使的面积等于8的点共有几个？证明你的结论.解：直线的斜率 ，中点坐标为 ， 直线方程为 （4分） 设圆心，则由在上得： 又直径,又 （7分）由解得或圆心 或 圆的方程为 或 （9分） ， 当面积为时 ，点到直线的距离为
9、。 又圆心到直线的距离为，圆的半径 且 圆上共有两个点使 的面积为 . （14分）总结备忘：12、在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点圆C过点A且与l1、l2相切（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；xyOABl2l1l（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标解析（）直线设 的倾斜角为，2分反射光线所在的直线方程为 即4分已知圆C与圆心C在过点D且与垂直的直线上， 6分又圆心C在过点A且与垂直的直线上，由得，圆C的半径r=3故所求圆C的方程为 10分（）设点关于的对称点，则 12分得固定点Q
10、可发现，当共线时，最小，故的最小值为为 14分，得最小值 16分总结备忘：13、设圆的方程为，直线的方程为（1）求关于对称的圆的方程；（2）当变化且时，求证：的圆心在一条定直线上，并求所表示的一系列圆的公切线方程解：（1）圆C1的圆心为C1（2，3m+2），设C1关于直线l对称点为C2（a，b）则解得：圆C2的方程为（2）由消去m得a2b+1=0即圆C2的圆心在定直线x2y+1=0上。设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，则即直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，所以有：解之得：所以所表示的一系列圆的公切线方程为：总结备忘：14、已知过点A（0，1），且方
11、向向量为，相交于M、N两点.（1）求实数的取值范围；（2）求证：；（3）若O为坐标原点，且.解：（1）2分由5分9分11分1214分总结备忘：15、如图，在平面直角坐标系中，设的外接圆圆心为E（1）若E与直线CD相切，求实数a的值；（第16题） ABCDExyO（2）设点在圆上，使的面积等于12的点有且只有三个，试问这样的E是否存在，若存在，求出E的标准方程；若不存在，说明理由.解：（1）直线方程为，圆心，半径.由题意得，解得.6分（2），当面积为时，点到直线的距离为，又圆心E到直线CD距离为(定值)，要使的面积等于12的点有且只有三个，只须圆E半径，解得，此时，E的标准方程为14分总结备忘：16、已知：和定点，由外一点向引切线，切点为，且满足(1)
