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1、高中绝对值不等式-(精华版)-适合高三复习用-可直接打印 绝对值不等式绝对值不等式|a b a b +，|a b a b -+ 基本的绝对值不等式：|a|-|b|a b|a|+|b| y=|x-3|+|x+2|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5所以函数的最小值是5，没有最大值 |y|=|x-3|-|x+2|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y|5得-5y 5即函数的最小值是-5，最大值是5 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2x 3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表
2、示x 到3，-2这两点的距离之差，当x -2时，取最小值-5，当x 3时，取最大值5 变题1解下列不等式：(1)|x +1|2x ；(2)|2x 2x 6|思路利用f(x)解：(1)原不等式等价于x +12x 或x +1解得x 12或无解，所以原不等式的解集是x |x 12 (2)原不等式等价于3x 即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+-或 2所以原不等式的解集是x |2 1解不等式（1）x-x 2-2x 2-3x-4；（2）234x x -1解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解.原
3、不等式等价于：x-x 2-2x 2-3x-4 或x-x 2-2解得：1-2解得：x-3故原不等式解集为x x-3分析二 x-x 2-2x 2-x+2 而x 2-x+2(x-14)2+740 所以x-x 2-2中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2x 2-3x-4解得：x-3 原不等式解集为x-3（2）分析 不等式可转化为-1234x x -1求解，但过程较繁，由于不等式234xx -1两边均为正，所以可平方后求解. 原不等式等价于2234x x -1 9x 2(x 2-4)2 (x 2)x 4-17x 2+160x 21或x 216-1x 1或x 4或x -4注意：在解绝对值
4、不等式时，若f(x)中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第2变 含两个绝对值的不等式变题2解不等式（1）|x 1|思路（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用f(x)g(x)f 2(x)g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。解题（1）由于|x 1|0，|x +a |0，所以两边平方后有：|x 1|2即有2x 2x +112a当2a+20即a1时，不等式的解为x12(1a)；当2a+2=0即a=1时，不等式无解；当2a+22a-（2）解不等式x-2+x+35.解：当x-3时，原不等式化为(2
5、-x)-(x+3)5-2x6x当x2时，原不等式为(x-2)+(x+3)52x4x2.综合得：原不等式解集为xx2或x请你试试421 解关于x的不等式|log(1)|log(1)|a ax x-+(a0且a1)解析：易知1lg(1)lg(1)|lg lgx xa a-+22 |lg(1)|lg(1)|x x-+于是22lg(1)lg(1)0x x-+lg(1)lg(1)lg(1)lg(1)0 x x x x-+-+21lg(1)lg01xxx-+1x02xlg(12x)1lg1xx-+-，解得03x +-m m mx x 思路本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化
6、简成3|2|+-m m x ，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。解题原不等式等价于3|2|+-m m x 当03+m 即3-m 时， )3(232+-333-03=+m 即3-=m 时， 0|6|+x x 6当03请你试试43 1解关于x 的不等式：()0922-a a a x x 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：当()-029929222a ax x a x a a x x a x a x
7、 即时，不等式可转化为 a bx a 173+ +-23故不等式的解集为或。2关于x 的不等式|kx 1|5的解集为x |3x 2，求k 的值。按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k 值的不确定，要以k 的不同取值分类处理。 解：原不等式可化为4kx 6 当k 0时，进一步化为46x k k -，依题意有4433632k k k k-=-=，此时无解。当k =0时，显然不满足题意。 当k -=-=- 综上，k =2。 第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题变题4若不等式|x 4|+|3x |思路此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为
8、讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a +b |a |+|b |，便把问题简化。解题解法一 (1)当a 0时，不等式的解集是空集。(2)当a0时，先求不等式|x 4|+|3x |令x 4=0得x =4，令3x =0得x =3 当x 4时，原不等式化为x 4+x 3解不等式组474272x ax x a+-a 1 当3x+x 31 当x 3时，原不等式化为4x +3x 解不等式377337222x a ax x a-综合可知，当a1时，
9、原不等式有解，从而当0空集。 由(1)(2)知所求a 取值范围是a 1解法二由|x 4|+|3x |的最小值为1得当a 1时，|x 4|+|3x |从而当a1时，原不等式解集为空集。解法三：a|x4|+|3x|x4+3x|=1当a1时，|x4|+|3x|从而当a1时，原不等式解集为空集。请你试试441对任意实数x，若不等式|x+1|x2|k恒成立，求k的取值范围。思维点拨：要使|x+1|x2|k对任意实数x恒成立，只要|x+1|x 2|的最小值大于k。因|x+1|的几何意义为数轴上点x到1的距离，|x2|的几何意义为数轴上点x到2的距离，|x+1|x2|的几何意义为数轴上点x到1与2的距离的差
10、，其最小值可求。此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察k的取值范围。解法一根据绝对值的几何意义，设数x，1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|PB|k成立|AB|=3，即|x+1|x2|3故当k解法二令y=|x+1|x2|，则3,121,123,2xy x xx-=-要使|x+1|x2|k恒成立，从图象中可以看出，只要k2对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|a恒成立，求实数a的取值范围。分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。解：由绝对值不等式：|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|
11、=3，当且仅当(x+1)(x-2)0, 即21-x时取等号。故a说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使，只要）3已知a0,不等式|x-4|+|x-3|分析（一） |x-4|+|x-3|x-4(x-3)|=1当|x-4|+|x-3|a1（二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|PA|+|PB|1 恒有y1数按题意只须（四）考虑|z-4|+|z-3|（五）可利用零点分段法讨论
12、.以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a1.变题：1、若不等式|x-4|+|x-3|a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围2、若不等式|x-4|-|x-3|3、若不等式|x-4|-|x-3|a在R上恒成立，求a的取值范围第5变绝对值三角不等式问题变题5已知函数2()(,) f x ax bx c a b c R=+，当1,1x-时|()|1f x，求证：(1)|1b；(2)若2()(,)g x bx ax c a b c R=+，则当1,1x-时，求证：|()|2g x。思路本题中所给条件并不足以确定参数ba,，c的值，但应该注意到：所要求的结论不是()b g x或的确
13、定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用()1-f、(0)f、()1f来表示ba,c。因为由已知条件得|(1)|1f-，|(0)|1 f，|(1)|1 f。解题证明：(1)由 ()()()()11,1112f a b c f a b c b f f =+-=-+=-，从而有11|(1)(1)(|(1)|(1)|),|(1)|1,|(1)|1,221|(|(1)|(1)|) 1.2b f f f f f f b f f =-+-+-(2)由()()()()11,111,2f a b c f a b c b f f a =+-=-+=-从而 ()()111(0)2a f f f =+- 将以上三式代入2()(,)g x bx ax c a b c R =+
