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1、类比法在中学数学中的应用 摘要：类 比法是数 学发 现中最常 用、最有 效的方 法之一，同时也是数 学解 题中非常实 用的一种方 法.类 比法也称 做“类 比推 理法”，是一种合 情推 理的思维方法.当遇到相对复杂的题目，我们可以先考虑与之相类似的简单的题目，从而寻找到适合的方法或规律解决复杂的问题.类比法无论是在知识的探索还是解决实际问题，都具有启发思路、提供线索、举一反三、触类旁通的作用.在中学数学中，应用到类比法的知识多种多样，而我着重写的是在解题方面，一些经常出现的、常见的类比，如一般与特殊的类比、高维与低维的类比、平面与空间的类比、方法的推广类比以及类比的局限性等.IIAnalogi
2、sm in middle school mathematics application Abstract: The analogism is in mathematics discovery is most commonly used, one of most effective methods, simultaneously also is in mathematics problem solving the extremely practical one method. The analogism also name makes “the analogy line or method of
3、 reasoning”, is one kind gathers the sentiment inference the thought method. When meets the relatively complex topic, we may consider first with it similar simple topic, thus seeks to the suitable method or the rule solution complex question. Regardless of the analogism is solves the actual problem
4、in the knowledge exploration, all has the inspiration mentality, provides the function which the clue, extrapolates, understands by analogy. In the middle school mathematics, applies the analogism the knowledge many and varied, but I write am emphatically in the problem solving aspect, some appear,
5、the common analogy frequently, like general and the special analogy, high dimension and low dimensionalanalogy, the plane and the spatial analogy, the method promotion analogies as well as analogies limitedly and so on. Keywords: Analogism;Gathers the sentiment inference; Mathematics; Application18类
6、比法在中学数学中的应用 据说“锯子”是鲁班发明的.当鲁班正在为创造一种新的伐木工具而感到困惑的时候，不小心手指被一根细毛草叶划了一下，划破了一个深深的口子. 心想：“怎么一根小小的毛草叶能把我的手划得这么深”.于是他仔细的观察了毛草叶，发现叶子的边缘生长着许多锋利的小齿，由此鲁班联想到用铁片打制一把像毛草叶一样的工具锯子.这里鲁班所用的思想就是类比，他由被毛草叶划破手指后想到用像叶子一样的工具来锯木头，非常聪明的思考，灵活的运用类比，制造出了锯子. 波利亚曾经说过：“类 比是一个伟 大的引路人.”开普 勒也说过：“我珍 视类 比胜过任 何别的东 西，它是我最信 赖的老 师，它能揭 示自 然界的
7、秘 密，在几 何学中它是最不容意忽 视的.”然而拉普 拉斯也说过：“甚 至在数 学里发 现真 理的主要工 具是归 纳和类 比.”康德也同样说过：“每 当智 力缺 乏可 靠论证思 路时，相 似思 考往往能指 引我们前 进”.“相似思考”指的就是类比.从古人对类比评价的价值和意义，能深切地感受到通过类比可以发现新的知识，探索新的科学领域，类比起着重要作用.同样，把类比的方法运用到中学数学解题当中，可以帮助我们发现解题的思路、方法和途径，从而提高解决问题的能力.1 类比法的含义 类比法是将两个或两类事物的某些相同或相似属性进行比较的方法，类比推理是从特殊到特殊的一种推理.类比法简称类比，它是基于两个
8、或两类事物或对象的某些属性相同或相似，然后猜测它们其它的属性也是相同或相似.它的逻辑形式是：具有性质具有性质其中与 相同或相似；则推测出也具有性质，相同或相似1.类比推理法和不完全归纳法差不多，是一种似真推理，前提真而结论未必就真.要想提升类比出的结论的可靠程度，就要尽量地确认对象之间的相同点.相同点越多，对结论的可靠性就越高.因为对象间的相同点越多，二者的关联度就会越大，如果两类事物的相同或相似的属性越多，则通过类比得到的结论也就越可靠.反之，结论的可靠性程度就会越小.要想很好地掌握类比法，首先要善于观察事物的特点，从对不同事物的关注和研究中发现它们的相似性，并寻找到造成这种相似的原因；其次
9、，要善于联想，从事物的彼此联系中来考虑问题，从一个事物或关系遐想到它们性质相同或相似的其他事物，从一种方式方法联想到其它作用类似的各种方式方法；从一个概念、定理联想到与这个概念、定理关系密切的一类概念、定理. 解决一个问题，我们都应联想到是否有其相类似的问题，回想各种有关的知识和经验，往往能使我们提高分析和解决实际问题的能力.显然，类比法属于合情推理，它的结论正确与否需要经过严格的演绎证明.2 类比法的作用类比法的作用是“由此及彼”.假如把“此”看作是前提条件，“彼”看作是推论，那么类比的思维过程便是一个合情推理过程.古典的类比法认为，假如我们在类比过程当中发现被类比的对象有越来越多的共同点，
10、而且了解其中一个对象有某种情形而另一个对象尚未发现这个情形，这时人们的思维就有理由进行类比，因此猜测另一对象也应该有此情况.当代类比法认为，类比之所以可以“由此及彼”,之间通过了一个归结和演绎流程，即：从已知的对象具有某些属性，经过归纳得出另外的对象也具有这些属性.当代类比法就是“类推”.2.1 类比法是科学发现、发明的重要方法之一 类比法是提出新问题和做出新发现的一种重要方法，是扩大知识范围、获得新知识的重要手段.数学发展史上，应用类比法使数学得到创新发展的例子很多，诸如欧拉解决自然数倒数平方和就是一个非常好的例子；罗巴切夫斯基在对欧氏几何中的第五公设的研究时，类比联想出来了罗氏公理：“在平
11、面上，过一条直线外的一点，可以画两条不同的平行线.”黎曼也通过对欧氏几何中的第五公设的研究，类比出了自己的黎氏公理：“同一平面上的任何两条直线一定相交；直线可以无限延长，但总长度是有限制的.”他们同样对欧氏几何中的第五公设类比研究，分别得到了罗氏几何与黎氏几何.在数学的创造性活动中，徐利治教授不仅充分肯定了归纳和类比的作用，而且还指出，在创造性的科研活动中，常用下列方法和步骤：推广归纳实验形成普遍命题从具体问题具体素材出发 证明预见联想类比 在数学的学习当中，通过类比可以得到一些新的结论.例1 由“正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比到“正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值”
12、.2.2 类比法是系统掌握知识的有效方法通过类比可以系统掌握新知识，同时巩固旧知识，并且可以使新旧知识融会贯通.代数中分式类比分数，从而推出分式具有与分数相似的性质，分式可以和分数一样，进行化简和运算.这样把分数与分式统一起来，类比记忆. 在几何中更是如此，空间几何类比平面几何，其中部分结论的对照见表三.例22 （1）长方形与长方体的类比关系见表一：表一长方形长方体每相邻两边互相垂直对边互相平行且相等对角线相等且互相平分对角线的平方等于长和宽的平方和面积等于两邻边的乘积每相邻两棱互相垂直，每相邻两面互相垂直对棱互相平行且相等对角线相等且相互平分对角线的平方等于长、宽、高的平方和体积等于长、宽、
13、高的乘积（2）圆与球的类比见表二：表二平面中的圆空间中的球圆的切线圆的弦圆周长圆面积球的切面球的截面圆球的表面积球的体积（3） 平面与空间的部分类比结论见表三：表三平面空间直线方程的一般形式：平面方程的一般形式：平行于同一条直线的两条直线相互平行平行于同一个平面的两个平面相互平行两条直线被三条平行线所截，对应截线段成比例两条直线被三个平行平面所截，对应截线段成比例直线与平行的充要条件是平面与平行的充要条件是角平分线上任意一点到角的两边等距，到角两边等距的点在角平分线上.二面角平分面上任意一点到角的两半平面等距，到二面角两半平面等距的点在角平分面上.三角形的任意两条边的和始终要大于第三条边.四面
14、体的任意三个面的面积之和始终大于第四个面的面积.一般来说，平面与空间之间的类比是不确定的，经常是模糊的，但由于其多样性，这样的类比就成为几何学提出新问题和获得新发现的源泉.无论是在教学还是解题时，有意识的引导学生注意有关知识之间的类比关系，从旧知识的基础上“发现”新知识，将会提高学生的学习兴趣，取得良好的学习效果.知识之间的类比，方法之间的类比，有利于扩展学生的思维，培养学生进行类比的能力，从而提高学生的学习兴趣.3 中学数学解题中常见的类比应用在数学解题过程中类比法具有启发思绪、提供线索、抛砖引玉、闻一知十的作用.当我们解决一个相对陌生或复杂的问题时，往往可以找到一个更熟悉的或简单的问题作为
15、类比对象 .有的时候，类比对象的解决途径和方法可以为原问题提供某种解决的途径或模式；有的时候类比对象的解决途径和方法直接就是原问题的解决途径和方法.因此通过类比对象的解决途径和方法的分析研究，往往能获得原问题的解决途径和方法.应用类比法来指导解题，关键在于找到一个很合适的类比对象.一般而言，我们可以依据问题的不同特征，从题型结构、图形特点、相关性质、解题方式等方面进行类比，将不熟悉或比较复杂的问题转化为熟悉或比较简单的问题，达到正确简捷解题的目的.3.1特殊与一般的类比 一个一般问题的研究，它往往比较复杂，不容易解决，这可以先探讨和解决一个比较简单的例子，然后用解决简单问题时所用的方法或所得到的结论来解决原来的一般性问题，像这样的类比就是特殊与一般的类比.例33 如图1，设为的角平分线，且点共线，则：.
