《数学竞赛中的数学思维.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学竞赛中的数学思维.doc（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学竞赛中的数学思维马山镇东安小学 傅秀丽数学竞赛是当前数学教育实践中的一个重要的组成部分，全国各地有很多学校以各种形式组织学生进行竞赛的培训和学习。同时各种层次的数学竞赛层出不穷，很多学生也因为各种原因参加到这项活动中间来。数学教学大纲指出：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。数学教学大纲中所列出的内容，是教学的要求，也是数学竞赛的最低要求。在竞赛中对同样
2、的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。数学思维则是人脑和数学对象 ( 空间形式、数量关系、结构关系) 交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。数学中的形象思维、直觉思维、定势思维和反定势思维以及创造性思维是数学思维结构的基本成分。以下笔者将结合数学竞赛中试题的分析来阐述形象思维、直觉思维、定势思维和反定势思维以及创造性思维。一、 形象思维数学中形象思维是凭借各种形象来思考、表述和展开数学问题的思维活动。形象思维的形式有：（1）、意象。意象又称思维形象，是指对数学形象的一般特征的理性反映。（2）、联想。指的是由一个意象到另一个意象的过程。
3、也就是说，联想是将头脑中的意象联系在一起，由一种意象唤起另一种意象，从而揭示出意象的内容和本质关系。（3）、想象。想象是在联想的基础上加工原有意象而创造出新意象的思维活动。例1、 六年级有学生54人，每人至少爱好一种球，其中爱好乒乓球的有40人，爱好足球的有20人，爱好排球的有30人。既爱好乒乓球又爱好排球的有18人；既爱好足球又爱好乒乓球的有14人；既爱好足球又爱好排球的有12人，对于这三种都爱好的有几人？（1987年武汉市小学数学竞赛题） 分析：我们用韦恩图（画三个圆）表示题中的数量关系，三个圆两两相交，分隔成7块，设三种都爱好的有x人，那么每一块所表示的意义就一目了然了。（如图）解：设三
4、种都爱好的有x人，列方程：（8+x）+（18-x）+（14-x）+x+x+（12-x）+（x-6）= 54x+46 = 54x = 8答：对于乒乓球、排球和足球都爱好的有8人。本题通过画图，把题中的各个数量以及数量之间的关系清楚地呈现出来，把繁杂的数字用具体的形象来展现。通过韦恩图，想象三个圆重叠相交的关系，本题不采用方程，用求面积法也可以求解：54+18+14+12-40-20-30=8（人）二、直觉思维数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动。这种思维活动表现为对认识对象的直接领悟和洞察，这是数学直觉思维的本质特征，数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的，问题的解决也离不
5、开直觉。例2、 计算（1993年武汉市洪山区六年级数学选拔赛试题）分析一：经过观察发现三个分子都是1，分母都是三个连续自然数的乘积，这样我们想到用“裂项相消”的办法。解法一：原式= = = =分析二：由于项数不多，故采用通分计算。原式=“通分”是数学教学大纲中必须掌握的内容之一，由于项数不多，采用通分的方法还不至于繁杂。而“裂项相消”是竞赛中常用的，本题也可采用，但优势不大。但若碰到:“求的值”时，用“裂项相消”的方法就非常方便简单了。三、定势与反定势思维（1）定势思维定势思维是指人们用某种固定的思维模式去分析问题、解决问题。这种固定模式是已知的，事先有所准备的，具体地说，思维中的定势包括定向
6、、定法、定序三个主要方面的内容。例3、 如下图，方格纸上放了20枚棋子，以棋子为顶点的正方形又有（）个。（北京市人大附中第七届“幼苗杯”数学邀请赛试题）分析：采用分类讨论的方法来做（定法）。对于这种计数题，很容易遗漏或者重复计算。用分类讨论的方法思路很清晰，也便于做完后检查，查漏补缺。解：以正方形的面积大小来分类计数：设相邻两点的距离为1，则正方形的面积为1的有9个；面积为2的有4个；面积为5的有2个；面积为8的有4个；面积为13的有2个。所以，共有9+4+2+4+2=21个正方形。（2）反定势思维为克服定势思维导致思维的懒惰性、依赖性、呆板性，就需要反定势思维。反定势思维主要有发散思维和逆向
7、思维。例4、 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现有1825个零件需要加工，如果规定3人用同样的时间完成任务，那么各人应加工多少个零件？（人大附中“幼苗杯”小学数学邀请赛试题）分析一：甲、乙、丙三人工作效率之和是，那么三个人共同的工作时间为（分钟）这时甲、乙、丙分别加工了这批零件的：甲：乙：丙：那么要求甲、乙、丙各加工了多少就是分别求1825的各是多少？解：根据分析一列综合算式：甲应加工的零件数为：（个）乙应加工的零件数为：（个）丙应加工的零件数为：（个）分析二：甲、乙、丙的工作效率的比为：。也就是说，相同时间内，如果以甲加工零件数为单位“1”，那么乙是甲的，丙是甲的。这样
8、，我们可以概括为：甲的是1825个。解法二：由分析二可以分别列出甲、乙、丙加工零件的个数是：甲：（个）乙：（个）丙：（个）方法二比较简单。解法一是从“甲、乙、丙三人工作效率的和”作为考虑问题的出发点；解法二是从“甲、乙、丙三人工作效率的比”作为考虑问题的出发点，比较新颖，但其实该方法也是建立在工程问题以及比和比例的性质的基础之上的。四、创造性思维创造性思维是指以新的材料、从新的角度，用新的程序和方法处理、加工信息，从而获得新成果的思维活动和过程。创造性思维的特征有独创性、灵活性、综合性。例5、设A=，B=，那么（）。（1）AB （2）A=B （3）AB,选（1）解法二：本题可看成两个矩形的面积
9、大小比较，其中一个矩形的长为9876543，宽为3456789；另一个矩形的长为9876544，宽为3456788。为了比较他们的面积，画出这两个矩形的示意图，并按图中所示尽可能将它们重叠在一起，去掉重叠部分后，两个矩形都剩下宽为1的矩形，显然画竖条的矩形面积比画横条的矩形面积要大，即故AB,故选（1）。解法二的方法比较新颖，有创造性突破了代数的计算，从而转换到几何上的比较大小，具有直观性，同时可以开拓学生的思维。数学竞赛活动是数学教育改革和实验的一种形式，作为第二课堂数学活动，满足了新课程标准“不同的人在数学上得到不同的发展”的要求，不仅要求学生有较扎实的基础知识，更要求学生有灵活运用所学知识的能力。数学竞赛活动考察的是学生的数学思维和数学能力，因此数学竞赛的本质是数学思维的学习，同时，我们也可以通过数学竞赛来提高数学思维能力。
