各高校自主招生数学试题.doc

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1、自主招生试题特点:试题难度高于高考,有的达到竞赛难度,试题灵活,毫无规律可寻,但各个学校有自己命题风格。一般说来,各高校对后续性的知识点:如,函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。应试策略:1、注重基础:一般说来,自主招生中,基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面,自主招生中,有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手,并进行分析。方程的根的问题:1. 已知函数,且没有实数根那么是否有实数根?并证明你的结论(08交大)2. 设,试证明对任意实数:(1)方程总有相同实根;(2)存在,恒有(07交大)3.(06交大)设4. (05复旦)在实数范围

2、内求方程:的实数根5.(05交大)的三根分别为a,b,c,并且a,b,c是不全为零的有理数,求a,b,c的值6. 解方程:求方程(n重根)的解(09交大)凸函数问题1. (2009复旦)如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x,y都满足,则称这个函数时下凸函数,下列函数(1) (2)(3)()(4)中是下凸函数的有-。A(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)2. (06复旦)设x1,x2(0,),且x1x2,下列不等式中成立的是: (1)(tanx1+tanx2)tan; (2) (tanx1+tanx2)sin; (4) (sinx1+sinx2)0,a,b,

3、c是x,y,z的一个排列。求证:。12. 求所有3项的公差为8的自然数数列,满足各项均为素数。13. 求所有满足的非直角三角形(这里表示不超过的最大整数)(2009年南京大学自主招生试题)14. 求由正整数组成的集合,使中的元素之和等于元素之积(06,清华)。15. 的整数部分为A,小数部分为B。(1)求A,B; (2)求;(3)求。(09,清华)16(09复旦).定义全集X的子集AX的特征函数为这里,表示A在X中的补集。那么,对A,BX,下列命题中不准确的是_.AAB,XB,Xc. ,XD. +,X17(09复旦).半径为R的球内部装4个有相同半径r的小球,则小球半径r的最大可能值是_。A

4、B. C. D中等题18. 给出一个整系数多项式,使有一个根为(2009清华)19.通信工程中常用n元数组表示信息,其中或1,设,表示和中相对应的元素不同的个数()问存在多少个5元数组 使得;()问存在多少个5元数组 使得;()令,求证:(08交大)20证明:若f(f(x)有唯一不动点,f(x)也有唯一不动点(09交大)21. 已知,ABC是正三角形,且B、C在双曲线一支上.(1)求证B、C关于直线对称;(2)求ABC的周长.(07,清华)22. 是否存在实数x,使均为有理数?(09,北大)23对于集合,称M为开集,当且仅当,使得.判断集合与是否为开集,并证明你的结论.(2007年清华)。 2

5、5定义在R上的函数, n=2,3,(1) 求;(2) 是否存在常数M0,有(05复旦)26已知线段长度为,两端均在抛物线上,试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标(07交大)27有限条抛物线及其内部能否覆盖整个平面?并证明。(抛物线内部指焦点所在的一侧)(09清华)28 数列满足,且,其中求证:; 求证:。29.(03交大)求证:为最简分式30.(04复旦)若存在,使任意(为函数的定义域),都有,则称函数有界问函数在上是否有界?31对于集合,称M为开集,当且仅当,使得. 判断集合与是否为开集,并证明你的结论.(2007年清华)。32已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,

6、CA1=CB1,A+B+C=A1+B1+C1 求证:ABC 面积是六边形AC1BA1CB1的一半(08,北大)较难题33定义闭集合S,若,则,(1) 举一例,真包含于R的无限闭集合(2) 求证对任意两个闭集合S1,S2R,存在,但(03复旦)34排球单循坏赛,南方球队比北方球队多9支,南方球队总得分是北方球队的9倍。 求证:冠军是一支南方球队(胜得1分 败得0分)(08北大)35已知满足:对实数有,且,求证恒为零 (05清华)(可用以下结论:若,为一常数,那么)36已知对x,恒成立,求a+b的最大值(09北大)37某次考试共有333名学生做对了1000道题,做对3道及以下为不及格,6道及以上为优秀,考场中每人做题数目不全同奇偶问:不及格者与优秀者哪个多?(09北大)38. 已知(08北大)39。证明:正整数列是常数列的充要条件是其满足性质p:对数列中任意2n项,存在一种方法将这2n项分为两类(每类n个数),使得两类数之和相等.(09清华)40

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